Đề thi chính thức vào 10 môn Toán trường Nguyễn Tất Thành năm 2021

Rút gọn biểu thức   với .

Cho hai số a, b thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức E = a² + b².

Đáp án: E = .

Một đoàn xe dự định chở hết 45 tấn hàng (các xe chở cùng một lượng hàng như nhau). Khi sắp khởi hành thì đoàn xe được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 0,5 tấn so với dự định ban đầu. Hỏi lúc đầu đoàn có bao nhiêu xe ?

Đáp án: Lúc đầu, đoàn có xe.

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 4 và . Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2(m-1)x - m(m+2) (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn x₁(3 - x₂) + x₂(3 - x₁) + 10 = 0.

Đáp án: m = .

Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC và nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a.1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Xét tứ giác AEHF có: 6.1 + 6.2 = 6.3 

2, Suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (tứ giác có 2 góc đối bù nhau) (đpcm)

a.2) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Ta có: 7.1

E nằm trên đường tròn đường kính 7.2 (1)

2, Tương tự:  7.3

F nằm trên đường tròn đường kính 7.4 (2)

3, Từ (1) và (2) suy ra: 4 điểm B, F, E, C nằm trên đường tròn đường kính 7.5. Do đó, tứ giác BFEC nội tiếp (đpcm).

b) Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC; gọi K là giao điểm khác A của  đường thẳng AD với đường tròn (O). Chứng minh DK.DA = DB.DC và DE.DF = DB.DC.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1,  Tứ giác BFEC nội tiếp (từ phần a) 

(cùng bù với )

2, Xét và :

chung

8.1 (g.g)

(3)

3, Tương tự ta được: 

8.2 (g.g)

(4)

4, Từ (3) và (4) suy ra đpcm.

c) Chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF và HK đi qua trung điểm I của BC.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Do DK. DA = DE. DF nên A, E, F, K cùng thuộc một đường tròn (phương tích đảo).

Mà AEHF là tứ giác nội tiếp nên K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF (đpcm).

2, Vẽ đường kính AG.

Suy ra: 9.1 (góc nội tiếp nủa đường tròn).

9.2 

FC // BG (có hai góc đồng vị bằng nhau) hay HC // BG (3)

3, 9.3  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà  

GC // BE hay GC // BH (4)

4, Từ (3) và (4) suy ra: tứ giác HCBG là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối tương ứng song song)

Do đó: HG cắt BC tại I là trung điểm của BC 

5, Vì K thuộc (O) nên 9.4 (góc nội tiếp nửa đường tròn) 

 Vì K thuộc đường tròn ngoại tiếp của tứ giác AEHF đường kính AK nên   9.5

 Suy ra: K, H, G thẳng hàng.

 Mà HG đi qua trung điểm I của BC nên HK cùng đi qua trung điểm I của BC (đcm).

Cho hai số a và b thỏa mãn a³ + 2a = b³ + 2b. Tìm mối quan hệ giữa a và b ?

Giải phương trình .

Đáp án: Phương trình có nghiệm x = .