Đề thi chính thức vào 10 môn Toán trường Nguyễn Tất Thành năm 2022

Cho rút gọn biểu thức .

Đáp án: P =

Biết phương trình  (ẩn x) có hai nghiệm là , . Tính giá trị của biểu thức .

Đáp án: M = .

Cho (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình . Tính E = x₀² + y₀².

Đáp án: E = .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d: y = -x + 4 cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm A và B. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục Oy. Tính OH. OK. 

Đáp án: OH. OK = .

Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ A, đến B, trên cùng quãng đường dài 150 km. Vận tốc của xe thứ nhất hơn vận tốc xe thứ hai là 10 km/h. Xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 30 phút. Tính vận tốc của xe thứ hai. 

Đáp án: Vận tốc của xe thứ hai là km/h.

Để đo độ rộng của một khúc sông, bạn Nam đi dọc bờ sông từ vị trí A đến vị trí B cách nhau một khoảng d và tiến hành đo đạc các góc nghiêng so với bờ sông từ các vị trí A, B đến vị trí C bên bờ sông đối diện (như hình vẽ). Biết d = 50m, , . Tính độ rộng h của khúc sông (làm tròn đến mét).

Đáp án: h = m.

Từ một miếng tôn hình tròn, bạn Nam cắt ra được một hình tam giác cân ABC có AB = AC = 15 cm và BC = 18cm. Tính bán kính của miếng tôn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Đáp án: Bán kính của miếng tôn là cm (viết đáp án dưới dạng số thập phân a,bcd).

Một biển báo giao thông có dạng hình tròn, đường kính 70 cm, được sơn một mặt bởi hai màu đỏ và trắng (phần tô đậm sơn màu đỏ, phần còn lại sơn màu trắng). Phần được sơn màu trắng là một hình chữ nhật có các kích thước là 10cm và 50cm. Biết rằng, để sơn 1m² màu đỏ cần chi phí là 250 000 đồng, để sơn 1m² màu trắng cần chi phí là 200 000 đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn toàn bộ biển báo trên bằng bao nhiêu ? Cho .

Đáp án: Để sơn toàn bộ biển báo cần đồng.

Cho a > b > 0. Xét biểu thức: 

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Biết , hãy tính giá trị của P.

Đáp án: P =

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua trung điểm C của đoạn thẳng OB kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Điểm M thay đổi trên đường tròn (O) sao cho MA < MB. Đường thẳng d cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại K và H. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với đường tròn (O). I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK. 

a.1) Chứng minh AH vuông góc với BK.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Ta có: 11.1 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 

2, Lại có: tại 11.2

3, Xét tam giác AKB có hai đường cao KC và BM cắt nhau tại H

H là trực tâm của tam giác AKB

(đpcm).

Chứng minh B, N, K thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

(từ phần a.1)

Suy ra: B, N, K thẳng hàng (đpcm).

Tính tích của CH.CK theo R.

c) Chứng minh I luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, H nằm trên đường trung trực của 14.1

HO = 14.2

Tam giác 14.3 cân tại H 

2, Lại có: (từ phần b)

14.4 (2 góc kề bù)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí đối diện nên tứ giác AOHK nội tiếp 

OA là dây cung của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOHK có tâm là I

I nằm trên đường trung trực của OA (tính chất dây cung của đường tròn)

Mà OA cố định nên I nằm trên một đường thẳng cố định (đpcm).

a) Cho x > 0, y > 0 và x + y = 2022. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

Đáp án: Giá trị nhỏ nhất của P là .

Tìm các số thực x, y thỏa mãn: .

Đáp án: x = 16.1; y = 16.2.