Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm và BC = 5 cm. Khi đó: 

Cho đường tròn (O) đường kính AB. C bất kì (C khác A, B) đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc ODC, đường này cắt DC tại M.

Chứng minh: Đường thẳng d qua M song song với AB là tiếp tuyến đường tròn (O).

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Kẻ OH vuông góc với d (H thuộc d)

Gọi N là giao điểm của phân giác góc ODC với OM

1) Xét ∆ODM có DN vừa là phân giác vừa là đường cao

⇒ ∆ODM cân tại D

 (1)

Ta có: d // AB nên   (2) (so le trong)

Từ (1) và (2) suy ra hay

2) Xét ∆CMO và ∆HMO có:

2.1^o

Cạnh 2.2 chung

(cmt)

Suy ra ∆CMO = ∆HMO (ch-gn)

⇒ OC = 2.3 (cạnh tương ứng)

Vậy d là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hình bình hành ABCD.

Chứng minh: Đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O).

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Ta có: OB = OC và AB = AC

⇒ OA là đường trung trực của 3.1

⇒ OA ⊥ 3.2

Vì ABCD là hình bình hành nên AD // 3.3CBBC

⇒ OA ⊥ AD tại A

Suy ra đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O) (đpcm).

Cho đường tròn (O; R), từ điểm S nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến SA (A là tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OS tại I, cắt đường tròn (O; R) tại B (B khác A).

Chứng minh: SB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1)  ∆OAB cân tại 4.1 (do OA = OB = R) có: OI ⊥ AB

Suy ra OI vừa là đường cao vừa là phân giác của ∆OAB

góc 4.2 

2) Xét ∆SOA và ∆SOB có:

OA = 4.3

Chung  cạnh OS

Suy ra ∆SOA = ∆SOB (c-g-c)

4.4^o 

⇒ OB ⊥ SB tại B

Vậy SB là tiếp tiếp của đường tròn (O; R).

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho .

Chứng minh: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Ta có:

Xét ∆MAC và ∆MBA có:

chung

Suy ra (c-g-c)

(1) (hai góc tương ứng)

2) Kẻ đường kính AD của (O)

Ta có:    (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 5.1)

Từ (1) và (2) suy ra (3)

3) Lại có: 

5.2^o  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

∆ABD vuông tại B nên 5.3^o  (4)

Từ (3) và (4) suy ra   5.4^o 

hay   5.5^o 

tại A

Mà A thuộc đường tròn (O) suy ra MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (đpcm).

Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AI.

Chứng minh: MF là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Gọi H là giao điểm của AI và BC

1) Ta có:

6.1^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

6.2^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ∆ABC có: ,  và BF giao CE tại I

Suy ra 6.3 là trực tâm của ∆ABC

tại H

2) Xét ∆AFI vuông tại F, có M là trung điểm cạnh huyền AI 

FM = MA = 6.4

3) Xét ∆FMA có: FM = MA 

Suy ra ∆FMA cân tại 6.5 

(1)

4) Xét ∆OFC có: OF = OC

Suy ra ∆OFC cân tại 6.6 

  (2)

5) Xét ∆AHC vuông tại H, có:

6.7^o (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  6.8^o

Mà 6.9^o

tại F

Vậy MF là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A và B). Từ O hạ đường vuông góc với CB tại H và cắt tiếp tuyến tại C ở N.

Chứng minh: BN là tiếp tuyến đường tròn (O).

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Xét ∆OBC cân tại O (OB = OC = R), có OH là đường cao

Suy ra 7.1 là phân giác của

2) Xét ∆OCN và ∆OBN có:

OC = OB

Cạnh 7.2 chung

Suy ra ∆OCN = ∆OBN (c-g-c)

(góc tương ứng)

Mà 7.3^o 

7.4^o 

Vậy BN là tiếp tuyến của (O).

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Ax và By là hai tia tiếp tuyến của (O; R) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho .

Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Vẽ OH vuông góc với CD (H thuộc CD) (1)

Tia CO cắt tia đối của tia By tại E

1)Vì Ax và By là các tiếp tuyến của (O)

8.1^o

Xét ∆ACO và  ∆BEO có:

OA = OB (= R)

(đối đỉnh)

Suy ra ∆ACO = ∆BEO (g-c-g)

⇒ OC = 8.2

⇒ O là trung điểm của EC

2) Xét  ∆CDE có OD vừa là đường cao (do ) vừa là trung tuyến nên ∆CDE cân tại 8.3

⇒ DO là phân giác của  

3) Xét ∆OHD và ∆OBD có:

8.4^o

OD chung

(do DO là phân giác)

Suy ra ∆OHD = ∆OBD (ch-gn)

⇒ OH = OB = R (2)

Từ (1) và (2) suy ra CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). (đpcm)

Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K;
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

a) Gọi O là trung điểm của IA ⇒ IA = 2IO.

Xét ∆AKI vuông tại K (do BK ⊥ AC) có KO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền IA

⇒ 9.1 = OA = OI 

⇒ K ∈ (O; OI) hay K thuộc đường tròn đường kính AI (đpcm).

b) Xét ∆AKO có OA = OK (cmt)

⇒ ∆AKO cân tại 9.2

(1)

Ta có:

9.3° (do ∆AHC vuông tại H)

9.4° (do ∆BKC vuông tại K)

(2)

∆ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

⇒ H là trung điểm của 9.5.

Xét ∆BKC vuông tại K (do BK ⊥ AC) có KH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

⇒ KH = 9.6 = HC

⇒ ∆HKB cân tại 9.7

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

Mà  (do ∆AKI vuông tại K)

9.8° 

⇒ HK ⊥ 9.9

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao, AB = 8 cm, BC = 16 cm. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ớ E. Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

(viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b nếu không phải số nguyên)

Gọi O là trung điểm của CD.

+) Ta có D là điểm đối xứng với B qua H

⇒ H là trung điểm của 10.1

⇒ HD = 10.2 BD (1) 

Xét ∆ABD có AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

⇒ ∆ABD cân tại A

Mà 10.3 10.4°

⇒ ∆ABD đều 

⇒ AB = AD = BD = 8 cm.

+) Lại có 10.5° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ ∆DEC vuông tại 10.6, có EO là đường trung tuyến

⇒ OE = OD = OC = 10.7 CD (2)

⇒ ∆ODE cân tại O

Mặt khác 10.8° (cùng phụ với )

⇒ ∆ODE đều 

⇒ OE = OD = DE

+) Ta có CD = BC - BD  = 10.9 cm

⇒ CD = BD (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra HD = OD mà OD = DE (cmt)

⇒ HD = OD = DE

⇒ ∆HEO vuông tại 10.10 hay HE ⊥ 10.11

Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.