Mô hình tam giác nội tiếp đường tròn

Cho ∆ ABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC). Đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

1.1

⇒ ∆BFC vuông tại 1.2 và ∆BEC vuông tại 1.3

⇒ ∆BFC và ∆BEC cùng nội tiếp đường tròn đường kính 1.4

⇒ 4 điểm B, F, 1.5, C cùng thuộc một đường tròn

Hay tứ giác BCEF nội tiếp. (đpcm)

Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

2.1

2.2

⇒ ∆AFH vuông tại 2.3 và ∆AEH vuông tại 2.4

⇒ ∆AFH và ∆AEH cùng nội tiếp đường tròn đường kính 2.5

⇒ 4 điểm A, 2.6, E, H cùng thuộc một đường tròn

Hay tứ giác AFHE nội tiếp. (đpcm)

Chứng minh  AO vuông góc với EF.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Kẻ tiếp tuyến xy của đường tròn tại A

(1)

Có ∆OAC cân tại O (OA = OC = R)

Mà 3.1 (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

3.2° 

  3.3°  (2)

Lại có tứ giác BCEF nội tiếp (cmt) nên:

3.4° (hai góc đối nhau)

Mà 3.5° (hai góc kề bù)

 (3)

Từ (2) và (3) suy ra

 Mà hai góc này ở vị trí 3.6so le trongđồng vị

(4) 

Từ (1) và (4) suy ra (đpcm)

Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại I cắt đường tròn tại K.

Chứng minh AK là tia phân giác của góc BAC.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

(O) có dây BC, tại 4.1; 

∆OBC cân tại 4.2 (OB = OC = R) có OI là đường cao

đồng thời là đường trung trực của 4.3

Mà

Suy ra 4.4 (tính chất đường trung trực)

là tia phân giác của (đpcm)

Kẻ đường kính AM của đường tròn.

Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Có 5.1^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AC ⊥ 5.2

Mà AC ⊥ BE nên BE // 5.3

2) Có 5.4^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AB ⊥ 5.5

Mà AB ⊥ CF nên CF // 5.6

3) Tứ giác BHCM có 

BH // 5.7

CH // 5.8

Suy ra tứ giác BHCM là hình bình hành (ĐPCM)

Chứng minh H, I M thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Tứ giác BHCM là hình bình hành (ý trước)

Đường chéo BC và 6.1

đi qua trung điểm của BC

Mà 6.2 là trung điểm của BC

đi qua 6.3

thẳng hàng (ĐPCM)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Chứng minh G là trọng tâm tam giác AHM.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) có đường trung tuyến AI (Do I là trung điểm của 7.1 và G là trọng tâm

2) Tứ giác BHCM là hình bình hành

Đường chéo BC và HM cắt nhau tại 7.2

 7.3 là trung điểm của HM 

là đường trung tuyến trong tam giác AHM

Mà

là trọng tâm tam giác AHM (ĐPCM)

Chứng minh H, G, O thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) có đường trung tuyến HO (vì 8.1 là trung điểm của AM)

Mà 8.2 là trọng tâm

Suy ra 8.3

Suy ra H, G, O thẳng hàng (ĐPCM)

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Gọi N là giao điểm của AH với BC

Vì H là giao điểm của 2 đường cao BE và CF trong tam giác ABC

H là trực tâm của tam giác ABC

9.1

Có  9.2 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

2) Xét và có

(= 9.3)

(cùng chắn cung 9.4

9.5 (g.g)

(hai góc tương ứng)

Hay (ĐPCM)

Gọi D là giao điểm của AH với (O).

Chứng minh N là trung điểm của đoạn thẳng HD.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Ta có:

∆BFH vuông tại 10.1 và ∆BNH vuông tại 10.2

⇒ ∆BFH và ∆BNH cùng nội tiếp đường tròn đường kính BH

⇒ 4 điểm B, F, H, 10.3 cùng thuộc một đường tròn

Hay tứ giác BFHN nội tiếp

10.4° (hai góc đối nhau)

Mà 10.5° (hai góc kề bù)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 10.6)

cân tại 10.7

Mà

là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

là trung điểm của đoạn thẳng HD (ĐPCM)