Mô hình nửa đường tròn

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. 

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh CD = CA + DB.

Ta có:

CM = 1.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

DM = 1.2 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra CM + MD = CA + 1.3

CD = CA + DB (ĐPCM)

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh tam giác COD vuông.

1) Ta có:

2.1 là tia phân giác của  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

2.2 là tia phân giác của  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

2) Lại có 2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

vuông tại 2.8 (ĐPCM)

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh .

1) Ta có:

AC = 3.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

BD = 3.2 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AC.BD = CM.3.3 (1)

2) Tam giác COD vuông tại 3.4 (ý trước), đường cao 3.5

⇒ CM.3.6 = OM² (∆OMC ∾ ∆DMO (g.g)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (ĐPCM)

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh CO // BM.

1) Ta có:

BD = 4.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

thuộc đường trung trực của 4.2 (1)

OM = OB

thuộc đường trung trực của 4.3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra DO là đường trung trực của 4.4

4.5 (3)

2) Tam giác COD vuông tại 4.6 (ý trước)

4.7  (4) 

3) Từ (3) và (4) suy ra OC // BM (ĐPCM)

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD.

Tam giác COD vuông tại 5.1 (ý trước)

nội tiếp đường tròn đường kính 5.2 

Gọi I là trung điểm của CD

⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp   (1)

⇒ IC = ID = 5.3

⇒  cân tại 5.4

Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Hai góc trên lại ở vị trí 5.5đồng vịso le trong

⇒ 5.6 // DB

Mà DB ⊥ AB

⇒ 5.7 ⊥ AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp . (đpcm)

Gọi N là giao điểm của AD và BC

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh .

1) Ta có:

CM = 6.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

DM = 6.2 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra 6.3 / 6.4 (1)

2) Ta có AC // BD (cùng vuông góc với 6.5)

⇒ (hai góc so le trong)

Lại có  (hai góc đối đỉnh)

⇒ ∆CNA ∾ ∆BND (g.g)

6.6 / 6.7 (2)

3) Từ (1) và (2) suy ra

4) Xét có

Mà

Suy ra (ĐPCM)

AM cắt CO tại E, BM cắt OD tại F.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh .

1) Có

CA = 7.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

thuộc đường trung trực của 7.2 (1)

OM = OA

thuộc đường trung trực của 7.3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra CO là đường trung trực của 7.4

là trung điểm của 7.5 

2) Có

BD = 7.6 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

thuộc đường trung trực của 7.7 (3)

OM = OB

thuộc đường trung trực của 7.8 (4)

Từ (3) và (4) suy ra DO là đường trung trực của 7.9

là trung điểm của 7.10

3) có

E là trung điểm của AM

F là trung điểm của BM

7.11 là đường trung bình của

(ĐPCM)

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác EMFO là hình chữ nhật.

1) Có 8.1 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

2) OC là đường trung trực của 8.2

8.3

 8.4

3) OD là đường trung trực của 8.5

8.6

 8.7

4) Tứ giác EMFO có 

8.8

Suy ra tứ giác EMFO là hình chữ nhật (ĐPCM)

Gọi K là giao điểm của MN và AB.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh N là trung điểm của MK.

1) Tam giác CBD có

MN // 9.1 (ý trước)

(1)

2) Tam giác ABD có

NK // 9.2 

(2)

3) Có ∆CNA ∾ ∆BND (g.g) (cmt)

- 9.3 = - 9.4

9.5 / 9.6 (3)

4) Từ (1), (2) và (3)

Mà N nằm giữa M và K

Suy ra N là trung điểm của MK (ĐPCM)

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh E, N, F thẳng hàng.

1) có 

N là trung điểm của 10.1

F là trung điểm của 10.2

10.3 là đường trung bình của

10.4 // KB

10.5 // AB 

Mà EF // AB

Suy ra E, N, F thẳng hàng (ĐPCM)