Bài kiểm tra định kì lần 3 - Toán vào 10 hình học

Cho hình vẽ bên có TA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. Nếu thì số đo góc TAB là

Cho (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

Góc OCA = 2.1° (AC là tiếp tuyến của (O) tại 2.2)

Góc OBA = 2.3° (AB là tiếp tuyến của (O) tại 2.4)

+) Gọi S là trung điểm của OA suy ra 2.5 = SA = 2.6OA (1)

+) Xét tam giác OAB vuông tại B có 2.7 là đường trung tuyến

⇒ SB = 2.8OA (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

+) Xét tam giác OAC vuông tại C có 2.9 là đường trung tuyến

⇒ SC = 2.10OA (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ SO = SA = 2.11 = SB = 2.12OA

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp. (đpcm)

Kẻ đường kính BD của (O), vẽ CK vuông góc với BD (K thuộc BD).

Chứng minh: AC.CD = AO.CK

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chú ý: Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b nếu số không nguyên.

1) Ta có:  

+) 3.1   (1)  

+) 3.2 (do OA là tia phân giác của góc COB, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà

3.3 sđ   (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Hay

2) Xét  và có: 

3.4°

(cmt)

Suy ra (g.g)

(đpcm)

Kẻ AD cắt CK tại I.

Chứng minh: I là trung điểm của CK.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Ta có: CK // 4.1 (cùng vuông góc với BD) 

 ⇒ IK // 4.2 

Xét ∆ABD có IK // 4.3 (K ∈ BD, I ∈ AD)

⇒ IK.DB = 4.4.KD (1)

+) Theo ý trước ta có:

Mà AC = AB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), CO = OB (= R)

⇒ AB.4.5 = CK.OB (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra: IK.DB = CK.4.6

Hay IK. 2R = CK.R

⇒ CK = 4.7 IK

Suy ra I là trung điểm của CK. (đpcm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H), M là trung điểm của BC.

Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh

Vì AH là đường cao của ∆ABC nên AH ⊥ BC tại H

⇒ BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).

Ta có:

+) 5.1 là phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+) 5.2 là tia phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra:

5.3 5.4 . 90^o = 5.5^o 

Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng (đpcm).

Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:

6.1

6.2

Mà A, D, E thẳng hàng

⇒ BD // CE

Suy ra tứ giác BDEC là hình thang (đpcm).

Chứng minh AM ⊥ DE.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh

+) ∆ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến 

⇒ AM = MB = 7.1

⇒ ∆AMC cân tại 7.2

+) Lại có:

7.3° (∆ABH vuông tại H)

7.4° (∆ABC vuông tại A)

Từ (1) và (2) suy ra góc BAH = góc 7.5

Mà (tia AB là tia phân giác của góc DAH, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ góc MAC = góc 7.6

Lại có

⇒ góc 7.7 + góc MAB = 90° hay góc DAM = 7.8°

⇒ AM ⊥ DE (đpcm).

Chứng minh: DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh

+) M là trung điểm BC

Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC (1)

+) ∆ABC vuông tại 8.1 có M là trung điểm cạnh huyền BC

⇒ MA = MB = 8.2

Suy ra A thuộc đường tròn tâm M đường kính BC (2)

+) Lại có: AM ⊥ DE tại A (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra DE là tiếp tuyến đường tròn tâm M đường kính BC. (đpcm)

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính OC vuông góc với AB. Điểm E thuộc đoạn OC. Tia AE cắt nửa đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt OC tại D.

Chứng minh: Tứ giác OEMB nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh

Ta có:

Góc COB = 9.1° (OC ⊥ AB)

Góc AMB = 9.2° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+) Gọi S là trung điểm của EB suy ra 9.3 = SB = 9.4EB (1)

+) Xét tam giác OEB vuông tại 9.5 có OS là đường trung tuyến

⇒ SO = 9.6EB (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

+) Xét tam giác EMB vuông tại 9.7 có MS là đường trung tuyến

⇒ SM = 9.8EB (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ SO = SE = 9.9 = SB = 9.10EB

Vậy tứ giác OEMB nội tiếp. (đpcm)

Chứng minh ∆MDE cân.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh

+) Tứ giác OEMB nội tiếp (ý trước)

  10.1° (hai góc đối diện)

Mà 10.2° (hai góc kề bù)

⇒ góc DEM = góc 10.3 (1) 

+) Ta có OM = OA (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OMA cân tại 10.4

Lại có (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 10.5)

⇒ góc MBA = 10.6° - góc OMA

                    = góc OMD - góc OMA

                    = góc 10.7 (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra  

Suy ra ∆MDE cân tại D (đpcm).

Gọi K là giao điểm của BM và OC.

Chứng minh BM.BK không đổi khi E di chuyển trên OC.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có: 11.1^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ∆AMB và ∆KOB có:

11.2^o 

chung

(g.g)

⇒ BM.BK = 11.3.BO = 11.4 .R² (không đổi) 

Vậy BM.BK không đổi khi E di chuyển trên OC.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài toán tìm vị trí của điểm E để MA = 2MB.

Chú ý: Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b nếu số không nguyên.

1) ∆MAB vuông tại M nên 

12.1

Hay 12.2 (1)

2) ∆AOE vuông tại O nên

  (2)

Từ (1) và (2) suy ra EO = 12.3 R

⇒ EO = 12.4 OC

Vậy để MA = 2MB thì E là trung điểm OC.