Đề thi minh họa vào 10 môn Toán Sở Hà Nội năm 2024

Cho hai biểu thức và với .

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.

Đáp án: A = .

b) Rút gọn biểu thức B. 

c) Tìm các giá trị của x để .

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một người lái xe máy để giao một gói hàng địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc không đổi trên quãng đường dài 30 km. Khi giao hàng xong, người đó đi từ B trở về A trên cùng quãng đường với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 10 km/h. Biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về 15 phút, tính vận tốc của người lúc đi từ A đến B.

Đáp án: Vận tốc lúc của người lúc đi từ A đến B là km/h.

Một chiếc nón lá có dạng hình nón với đường kính đáy bằng 44cm, độ dài đường sinh là 30cm. Người ta lát mặt ngoài xung quanh hình nón bằng 3 lớp lá khô. Tính diện tích lá cần dùng để tạo nên một chiếc nón lá như vậy (Lấy ).

Đáp án: Diện tích lá cần dùng là cm².

Cho hệ phương trình . Nghiệm của hệ phương trình đã cho là

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx + 4.

b.1) Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. 

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 

(*)

Phương trình (*) có: 

a = 7.1

b = -m

c = 7.2

ac = 7.3 < 0

Suy ra phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m (đpcm).

b.2) Gọi các hoành độ giao điểm của (d) và (P) là . Khi m thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Đáp án: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8.1 tại m = 8.2.

Cho tam giác ABC (AB > AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của BC. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB, AC.

a) Chứng minh bốn điểm A, E, M, F cùng thuộc một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

nên  9.1 hay tam giác MEA vuông tại E.

nên  9.2hay tam giác MFA vuông tại F.

Xét tam giác MEA vuông tại E có ba điểm A, E, M thuộc đường tròn đường kính 9.3.

Xét tam giác MFA vuông tại F có ba điểm A, F, M thuộc đường tròn đường kính 9.4.

Suy ra bốn điểm A, E, M , F cùng thuộc một đường tròn đường tròn đường kính AM (đpcm).

b) Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh và BC.ME = EF.BK .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Bốn điểm A, E, M, F cùng thuộc một đường tròn nên tứ giác AEMF nội tiếp. Suy ra  (cùng nhìn cạnh 10.1)

Đường tròn (O) có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 10.2)

Hay

Suy ra: (đpcm)

2, Tứ giác AEMF nội tiếp. Suy ra (cùng nhìn cạnh 10.3)

Đường tròn (O) có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 10.4)

Hay

Suy ra:

3, Xét và  có:

Suy ra 10.5 (g.g)

nên

hay (đpcm).

c) Gọi J là trung điểm của EF. Chứng minh AO song song với JM . 

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Vì (cmt) nên .

Bên cạnh đó, , (do M, J lần lượt là trung điểm của BC, EF) nên  hay .

2, Xét và  có:

(từ phần b)

(cmt)

Suy ra11.1 (c.g.c) nên (hai góc tương ứng) (1)

3, có: OB = 11.2 = R nên cân tại O. Do đó, 

Lại có: 11.3 (tổng ba góc trong tam giác OKB)

Mà   (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 11.4) nên

11.5 

11.6  

Mà  11.7  ( vuông tại E)  

Suy ra: (2)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:

(3)

4, Mặt khác: có OK = 11.8 = R nên cân tại O. Vậy (4)

5, Từ (3) và (4) suy ra:

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AO // MJ (đpcm).

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Đáp án: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 12.1 tại a = 12.2, b = 12.3.