Đề thi chính thức vào 10 môn Toán Sở Hà Nội năm 2024

Cho hai biểu thức và với .

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 16.

Đáp án: A = .

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm tất cả các giá trị của x để A - B < 0.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Để chở 15 tấn thiết bị phục vụ Lễ kỷ niệm 70 năm chiến thắng Điện Biên Phủ, một đội vận chuyển dự định sử dụng các xe tải loại nhỏ. Do thay đổi kế hoạch, đội vận chuyển quyết định chỉ sử dụng các xe tải loại lớn. Vì vậy, số xe tải sử dụng giảm đi 2 xe so với dự định và mỗi xe loại lớn chở nhiều hơn mỗi xe loại nhỏ là 2 tấn. Hỏi đội vận chuyển sử dụng bao nhiêu xe loại lớn? (Biết mỗi xe tải cùng loại đều chở số tấn thiết bị bằng nhau).

Đáp án: Đội vận chuyển sử dụng xe loại lớn.

Một bình nước có dạng hình trụ với bán kính đáy là 4 cm và chiều cao là 25 cm. Tính diện tích xung quanh của bình đựng nước đó (lấy ).

Đáp án: Diện tích xung quanh của bình đựng nước đó là cm².

Giải hệ phương trình .

Đáp án: Hệ phương trình có nghiệm x = 6.1, y = 6.2.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (m - 2)x + 5.

a) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại bao nhiêu điểm?

Kết luận: điểm.

b) Gọi x₁, x₂ là hoành độ các giao điểm của (P) và (d). Tìm tất cả các giá trị của m để x₁ + 5x₂ = 0.

Đáp án: m = 8.1 hoặc m = 8.2 (Học sinh nhập đáp án theo thứ tự từ lớn đến bé)

Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Do AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên .

Suy ra tam giác OBA vuông tại B nên 3 điểm O, B, A thuộc đường tròn đường kính OA.

Tam giác OCA vuông tại C nên 3 điểm O, C, A thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy bốn điểm O, B, A, C cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Vẽ đường kính BD của đường tròn (O). Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD và đường tròn (O). Đường thẳng BC và đường thẳng AO cắt nhau tại H.

Chứng minh AB² = AE. AD = AH. AO và .

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Ta có:

AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên A thuộc trung trực của BC

OB = OC = R nên O thuộc trung trực của BC

Do đó, OA là đường trung trực của BC nên OA vuông góc với BC tại trung điểm H của BC

Xét và có:

chung

Suy ra (g.g) nên (hai cạnh tương ứng) hay (1) 

2, (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên (kề bù).

Xét và  có:

chung

Suy ra 10.1 (g.g)

nên hay (2) 

Từ (1) và (2) suy ra: AB² = AE. AD = AH. AO (đpcm)

Suy ra

Xét và  có:

chung

nên 10.2 (c.g.c)

Do đó, (2 góc tương ứng)

3, Suy ra: tứ giác HEDO nội tiếp ( trường hợp góc ngoài 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

(góc nội tiếp cùng chắn cung 10.3)

Ta có: OB² = OH. OA (hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB)

(Vì OD = OB = R)

4, Xét và  có:

chung

10.4 (c.g.c)

(2 góc tương ứng) (3)

5, Do BD là đường kính nên

Mà (2 góc so le trong) (4)

Từ (3) và (4)

Mà (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)

hay  (đpcm).

c) Lấy điểm M thuộc tia đối của tia CB. Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng AB. Chứng minh BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Gọi K là trung điểm của BM, gọi F là giao điểm của BE và MN

Xét và  có:

chung

11.1 (g.g)

2, Xét tứ giác ANEF có:

Mà 2 góc này cùng nhìn cung 11.2 dưới góc không đổi nên tứ giác ANEF nội tiếp

(cùng bù với )

3, Xét và  có:

chung

11.3 (g.g)

4, Từ (3) và (4) suy ra:

Xét và  có:

chung

11.4 (g.g)

(2 góc tương ứng)

5, Mà 11.5 nên  11.6

Mặt khác, 2 góc này đối nhau nên tứ giác EFCK nội tiếp

Mà K là trung điểm của BM

F là trung điểm của MN (tính chất đường trung bình)

Vậy đường thẳng BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN (đpcm).

Với các số thực dương x và y thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (Nếu đáp án không nguyên thì viết đáp án dưới dạng phân số tối giản, ví dụ a/b).

Đáp án: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 12.1 với x = 12.2, y = 12.3.