Đề số 9 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

Biểu đồ cột bên dưới mô tả tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của 200 chiếc bóng đèn dây tóc trong một lô sản xuất.

a) Hãy xác định tần số ghép nhóm và tần số tương đối tương đối ghép nhóm của nhóm [1,5; 1,75).

Trả lời: Nhóm [1,5; 1,75) có tần số ghép nhóm là 1.1 và tần số tương đối ghép nhóm là 1.2%.

b) Một bóng đèn được cho là thuộc loại I nếu có tuổi thọ từ 1 500 giờ trở lên. Hỏi có bao nhiêu bóng đèn thuộc loại I trong số các bóng đèn được thống kê?

Trả lời: Có chiếc bóng đèn thuộc loại I.

Có hai túi I và II. Túi I chứa 4 tấm thẻ, đánh số 2; 3; 4; 5. Túi II chứa 3 tấm thẻ, đánh số 5, 6, 7. Từ mỗi túi I và II, rút ngẫu nhiên một tấm thẻ.

Cho biến cố E: "Hai số ghi trên hai tấm thẻ chênh nhau 3 đơn vị".

Xác suất của biến cố E là . (Điền đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho biến cố F: "Hai số ghi trên hai tấm thẻ có tổng bằng 9 hoặc 10".

Xác suất của biến cố F là . (Điền đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức A ta được:

b) Tìm giá trị của A khi .

Đáp án: A = .

c) Tìm giá trị của x để .

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Nếu vòi 1 chảy một mình trong 4 giờ và vòi 2 chảy một mình trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.

Trả lời: Vòi 1 chảy một mình trong 8.1 giờ thì đầy bể; vòi 2 chảy một mình trong 8.2 giờ thì đầy bể.

Hưởng ứng phong trào trồng cây vì môi trường xanh, sạch, đẹp, một chi đoàn thanh niên dự định trồng 240 cây xanh trong một thời gian quy định. Do mỗi ngày chi đoàn trồng nhiều hơn dự định là 15 cây nên không những họ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày mà còn trồng thêm được 30 cây xanh nữa. Tính số cây mà chi đoàn dự định trồng trong 1 ngày?

Trả lời: Chi đoàn dự định trồng cây trong một ngày.

Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 4x + 5 và cắt đồ thị hàm số y = x² tại hai điểm A (x₁; y₁), B (x₂; y₂) phân biệt thỏa mãn  x₁² + x₂² = 10.

Đáp án: a = 10.1, b = 10.2.

Một hộp đựng mỹ phẩm được thiết kế có thân hộp là hình trụ có bán kính hình tròn đáy bằng 5 cm, chiều cao bằng 6 cm và nắp hộp là một nửa hình cầu (tham khảo hình vẽ).

a) Tính thể tích bên trong hộp đựng mỹ phẩm (coi bề dày của vỏ hộp không đáng kể). (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, chỉ làm tròn ở phép tính cuối cùng)

Trả lời: Thể tích bên trong hộp đựng mỹ phẩm là cm³. 

b) Người ta cần sơn mặt ngoài của cái hộp đó thì diện tích S cần sơn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, chỉ làm tròn ở phép tính cuối cùng)

Trả lời: S = cm². 

Cho đường tròn (O, R), một đường thẳng d cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, từ một điểm M thuộc đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MC, MD tới đường tròn (C, D là tiếp điểm). Đoạn thẳng OM cắt đường tròn tại I.

a) Chứng minh bốn điểm M, C, O, D cùng thuộc một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

Gọi S là trung điểm của OM.

Do CM, DM là tiếp tuyến của (O) nên 13.1 ⊥ CM; 13.2 ⊥ DM

⇒ ∆OCM vuông tại 13.3 và ∆ODM vuông tại 13.4

Xét ∆OCM vuông tại 13.5, có S là trung điểm của OM

⇒ 3 điểm O, M, 13.6 cùng thuộc đường tròn (S) đường kính 13.7 (1)

Xét ∆ODM vuông tại 13.8, có S là trung điểm của OM

⇒ 3 điểm O, M, 13.9 cùng thuộc đường tròn (S) đường kính 13.10 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm D, O, C, 13.11 cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

b) Chứng minh OM ⊥ CD và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

Phần 1: Chứng minh OM ⊥ CD

Ta có MC và MD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại 14.1

⇒ MC = 14.2 (tính chất)

Mà OC = OD (hai bán kính của (O))

⇒ 14.3 là đường trung trực của CD

⇒ OM ⊥ CD. (đpcm)

Phần 2: Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

Vì MC và MD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên 14.4 là tia phân giác của

Ta có:

14.5° (∆OCM vuông tại C) (3)

14.6° (do OM ⊥ CD) (4)

Lại có:

OI = OC (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OIC cân tại 14.7

(5)

Từ (3), (4), (5) suy ra

⇒ 14.8 là tia phân giác của

Xét ∆MCD có MO và CI là hai đường phân giác cắt nhau tại 14.9

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD. (đpcm)

c) Đường thẳng qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích ∆MPQ nhỏ nhất.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước giải dưới đây theo trình tự phù hợp:

Bước 1: 15.1Tính diện tích ∆MPQTìm giá trị nhỏ nhất của MD + DQTính MD.DQ

Bước 2: 15.2Tìm giá trị nhỏ nhất của MD + DQTính MD.DQTính diện tích ∆MPQ

Bước 3: 15.3Tính MD.DQTính diện tích ∆MPQTìm giá trị nhỏ nhất của MD + DQ

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết cách để tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất. Tiếp theo hãy hoàn thành bài giải chi tiết dưới đây:

Bước 1: Tính diện tích ∆MPQ

Xét ∆MPQ có 16.1 là đường cao (do OM ⊥ PQ)

Mà MO là tia phân giác của

⇒ ∆MPQ cân tại 16.2

⇒ MO cũng là đường trung tuyến

⇒ O là trung điểm của 16.3

⇒ 16.4 = OQ =

Do đó, S_∆MPQ nhỏ nhất khi và chỉ khi MD + DQ nhỏ nhất.

Bước 2: Tính MD.DQ

Ta có:

(∆ODQ vuông tại 16.5)

(∆MDO vuông tại D)

Mà (∆MOQ vuông tại 16.6)

(tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau)

⇒ DQ.16.7 = OD² = R² không đổi.

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của MD + DQ, từ đó suy ra vị trí điểm M

Do đó:

(bất đẳng thức Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi MD = 16.8 = R.

Khi đó:

Hay M là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn tâm O, bán kính .

Trong mùa cao điểm du lịch, một tổ hợp nhà nghỉ ở Đà Nẵng gồm 100 phòng đồng giá luôn luôn kín phòng khi giá thuê là 480 nghìn đồng/phòng. Qua khảo sát các năm trước, bộ phận kinh doanh của nhà nghỉ thấy rằng: Cứ tăng giá phòng lên $x\%$ $(0\; \le \; x\; \le \; 100)$ so với lúc kín phòng (giá thuê 480 nghìn đồng/phòng) thì số phòng cho thuê giảm đi . Hỏi nhà nghỉ phải niêm yết giá phòng là bao nhiêu để đạt doanh thu cao nhất?

Trả lời: Giá phòng niêm yết là nghìn đồng.