Một số bài toán tổng hợp

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Gọi BE, CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I (I khác A). Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K.

a) Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Xét tứ giác nội tiếp AEHF, ta có:

góc IAF = góc 1.1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IF)

Mà góc IAF = góc IAB = góc 1.2 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IB trong đường tròn (O))

Lại có:

góc FAE = góc 1.3 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF)

Mà góc FAE = góc BAC = góc 1.4 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC trong đường tròn (O))

Từ (1) và (2) suy ra ∆ICB ∾ ∆1.5 (g.g)

Do đó (hai góc tương ứng) (đpcm).

b) Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Ta có tứ giác IAEF nội tiếp (theo cách dựng hình)

⇒ góc IAE + góc 2.1 = 180° ( tổng hai góc đối nhau)

Mà góc IFK + góc IFE = 2.2° (hai góc kề bù)

+) Lại có tứ giác AIBC nội tiếp (theo cách dựng hình)

⇒ góc IAE + góc 2.3 = 180° (tổng hai góc đối nhau)

Mà góc IBK + góc 2.4 = 180° (hai góc kề bù)

Từ (3) và (4) suy ra (đpcm).

Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến SB, SC (B, C là các tiếp điểm) và một cát tuyến cắt (O) tại D và E (D nằm giữa S và E). BC cắt DE tại F. Gọi I là trung điểm của DE.

Chứng minh SO ⊥ BC. 

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có SB = 3.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ S thuộc đường trung trực của 3.2 (1)

Lại có OB = OC (hai bán kính của (O))

⇒ 3.3 thuộc đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3.4 là đường trung trực của BC.

⇒ SO ⊥ BC. (đpcm)

Chứng minh 5 điểm S, B,O, I,C cùng nằm trên một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Ta có OB ⊥ 4.1 và OC ⊥ 4.2 (SB, SC là các tiếp tuyến của (O))

⇒ ∆SBO vuông tại 4.3 và ∆SCO vuông tại 4.4

⇒ ∆SBO và ∆SCO cùng nội tiếp đường tròn đường kính 4.5  (1)

+) Lại có ∆OED cân tại 4.6 (OE = OD = R)

mà 4.7 là đường trung tuyến (I là trung điểm của DE)

⇒ OI đồng thời là đường cao hay OI ⊥ DE

⇒ ∆SIO vuông tại 4.8

⇒ ∆SIO nội tiếp đường tròn đường kính 4.9 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3 ∆SIO; ∆SBO và ∆SCO cùng nội tiếp đường tròn đường kính 4.10

⇒ 5 điểm S, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

Chứng minh: FI.FS = FD.FE.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Chứng minh ∆FBS ∾ ∆FIC

Vì tứ giác SBIC nội tiếp (theo ý a) nên góc SBC = góc SIC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 5.1)

Lại có góc IFC = góc 5.2 (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆FBS ∾ ∆FIC (g.g)

⇒ FB.FC = FI. 5.3  (3)

+) Chứng minh ∆FBD ∾ ∆FEC

Ta có góc FEC = góc 5.4 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Mà góc EFC = góc 5.5 (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆FBD ∾ ∆FEC (g.g)

⇒ FB.FC = FE. 5.6  (4)

Từ (3) và (4) suy ra FI.FS = FD.FE.  (đpcm)

Đường thẳng OI cắt (O) tại M và N (M thuộc cung nhỏ BE). Đường thẳng NF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh ba điểm S, K, M thẳng hàng. 

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Chứng minh ∆FBK ∾ ∆FNC

Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 6.1)

Lại có góc NFC = góc 6.2 (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆FBK ∾ ∆FNC (g.g)

⇒ FB.FC = FN.6.3  (*)

+) Chứng minh ∆KFS ∾ ∆IFN. Từ đó c/m S, K, M thẳng hàng.

Ta có ∆FBS ∾ ∆FIC (cmt)

⇒ FB.FC = 6.4.FS  (**)

Từ (*) và (**) suy ra FS.FI = FN.FK

Mà góc IFN = góc 6.5 (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆KFS ∾ ∆IFN (c.g.c)

⇒ góc FKS = góc FIN = 6.6°

Mà góc MKN = 6.7° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

hay góc 6.8 =180°

⇒ S, K, M thẳng hàng. (đpcm)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H (E thuộc AC, F thuộc AB).

Chứng minh BH.BE = BF.BA.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Vì BE và CF là hai đường cao của ∆ABC nên BE ⊥ 7.1 và CF ⊥ 7.2 

Xét ∆ABE và ∆BHF có:

chung

7.3°

⇒ ∆BAE ∾ ∆7.4 (g.g)

⇒ BA.7.5 = BH.BE. (đpcm)

Đường thẳng CF cắt đường tròn (O) tại D (D ≠ C). Gọi P, Q, I lần lượt là các điểm đối xứng của B qua AD, AC, CD. K là giao điểm của BP và AD. Chứng minh . 

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

• Chứng minh

+) Vì P đối xứng với B qua AD nên AD là đường trung trực của 8.1 

⇒  AK ⊥ 8.2

Ta có ∆DKB vuông tại 8.3

⇒ ∆DKB nội tiếp đường tròn đường kính 8.4 (1)

Lại có ∆DFB vuông tại 8.5

⇒ ∆DFB nội tiếp đường tròn đường kính 8.6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm D, F, 8.7, K cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác KBFD nội tiếp.

(hai góc nội nội tiếp cùng chắn cung 8.8) (*)

• Chứng minh

+) Ta có ∆BEC vuông tại 8.9

⇒ ∆BEC nội tiếp đường tròn đường kính 8.10 (3)

Lại có ∆CFB vuông tại 8.11

⇒ ∆CFB nội tiếp đường tròn đường kính 8.12 (4)

Từ (3) và (4) suy ra 4 điểm B, F, 8.13, C cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác BCEF nội tiếp.

(hai góc nội nội tiếp cùng chắn cung 8.14) (**)

• Chứng minh . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

+) Tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên  8.15° (tính chất tứ giác nội tiếp)

Lại có   8.16° (hai góc kề bù)

Mà 8.17°

Do đó ∆DKB ∾ ∆8.18 (g.g)

(***)

Từ (*), (**), (***) suy ra (đpcm).

Chứng minh  KE // PQ và K, F, E thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Ta có B đối xứng với P qua AD và AD cắt BP tại K nên K là trung điểm của 9.1

Lại có B đối xứng với Q qua AC và AC cắt BQ tại E nên E là trung điểm của 9.2

Do đó 9.3 là đường trung bình của ∆BPQ 

⇒ EK // PQ (đpcm).

+) Ta có (cmt)

Mà 9.4° (hai góc kề bù)

9.5° 

⇒ K, F, E thẳng hàng (đpcm).

Chứng minh P, I, Q thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Ta có B đối xứng với I qua CD và CD cắt BI tại F nên F là trung điểm của 10.1

Mà 10.2 là trung điểm của BP (cmt)

⇒ 10.3 là đường trung bình của ∆BIP

⇒ 10.4 // PI hay KE // PI

Mà KE // PQ (cmt)

⇒ P, I, Q thẳng hàng (đpcm).

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC có đường cao AH (H ∈ BC). Gọi M là trung điểm AC, kẻ AK vuông góc BM tại K.

Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AHK.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên ∆ABC vuông tại 11.1

⇒ AC ⊥ 11.2

+) ∆AHB vuông tại 11.3 (AH ⊥ BC) nên ∆AHB nội tiếp đường tròn đường kính AB (1)

+) ∆AKB vuông tại 11.4 (AK ⊥ BM) nên ∆AKB nội tiếp đường tròn đường kính AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, 11.5, 11.6, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB

⇒ ∆AHK nội tiếp đường tròn đường kính 11.7

Mà AM ⊥ AB tại 11.8 (cmt)

⇒ AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AHK. (đpcm)

Chứng minh  AH.BK = 2AB.HK.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Ta có tứ giác ABHK nội tiếp (cmt) nên góc BAH = góc 12.1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH)

Mà góc 12.2  = góc MCB (cùng phụ với góc HAC)

+) Xét ∆BHK và ∆BMC có:

là góc chung

⇒ ∆12.3 ∾ ∆BMC (g.g)

+) Lại có M là trung điểm của AC nên MC = 12.4 AC (viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)

+) Xét ∆BHA và ∆BAC có:

là góc chung

12.5°

⇒ ∆ABH ∾ ∆12.6 (g.g)

Từ (*) và (**) suy ra

Do đó 12.7AB.HK = AH.BK. (đpcm)