Đề số 13 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

Sau khi thống kê độ dài (đơn vị: centimét) của 50 cây con ở vườn thí nghiệm, người ta nhận được biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm như sau: 

Hãy cho biết độ dài của các cây con trong nhóm nào chiếm tỉ lệ cao nhất? Xác định tần số ghép nhóm của nhóm cây con này?

Trả lời: 

Độ dài của các cây con trong nhóm [1.1; 1.2) chiếm tỉ lệ cao nhất với 1.3%.

Nhóm này có tần số ghép nhóm là 1.4.

Một toà nhà chung cư có 30 tầng, được đánh số lần lượt từ 1 đến 30. Bạn Bình vào thang máy ở tầng 1, bấm chọn ngẫu nhiên số một tầng để đi lên.

Tính xác suất của các biến cố:

A: “Bình đi lên tầng có số là một số nguyên tố”.

B: “Bình đi lên tầng có số là một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 3”. 

(Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời: P(A) = 2.1 ; P(B) = 2.2

Cho hai biểu thức: và với x > 0, x ≠ 4.

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 16.

(Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời: A = .

b) Rút gọn biểu thức B, ta được:

c) Đặt biểu thức . So sánh biểu thức P với 2.

Trả lời: P <>= 2.

Sau thiệt hại nặng nề do cơn bão Yagi gây ra, trường trung học cơ sở Võ Nguyên Giáp đã mua 1 500 quyển vở gồm hai loại để chia thành các phần quà tặng cho các bạn học sinh trường phổ thông dân tộc xã Quan Hồ Thẩn, huyện Simacai, tỉnh Lào Cai. Giá bán của mỗi quyển vở loại thứ nhất và loại thứ hai lần lượt là 8 000 đồng và 10 000 đồng. Hỏi nhà trường đã mua bao nhiêu quyền vở mỗi loại? Biết rằng số tiền nhà trường đã dùng để mua 1 500 quyển vở đó là 14 000 000 đồng.

Trả lời:

Số quyển vở loại 1 là 6.1 quyển.

Số quyển vở loại 2 là 6.2 quyển.

Một đội xe dự định trở 75 tấn hàng để ủng hộ đồng bào miền trung, lúc sắp khởi hành thì được ủng hộ thêm 5 tấn hàng và được bổ sung thêm 5 xe, do đó mỗi xe chở ít hơn dự định 1 tấn. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu xe?

Trả lời: Lúc đầu có xe.

Cho phương trình , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện .

Trả lời: m 8.1<≤≥> 8.2.

Thả 10 chiếc đinh không thấm nước có kích thước như hình dưới vào một cốc nước thủy tinh. Đinh chìm hẳn xuống và nước trong cốc không bị tràn ra ngoài. Hỏi thể tích nước trong cốc tăng thêm bao nhiêu mm³ ? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Trả lời: Thể tích nước trong cốc tăng thêm mm³.

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.

a) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. (Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b nếu số không nguyên)

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

Do MA, MB là các tiếp tuyến của (O) nên MA ⊥ 10.1; MB ⊥ 10.2

Gọi S là trung điểm của MO suy ra 10.3 = SM = 10.4MO (1)

Xét tam giác OAM vuông tại A có 10.5 là đường trung tuyến

⇒ SA = 10.6MO (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

Xét tam giác OBM vuông tại B có 10.7 là đường trung tuyến

⇒ SB = 10.8OM (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ SO = 10.9 = SA = SB = 10.10MO

Vậy 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

b) Chứng minh MN² = NF.NA và MN = NH.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó trả lời các câu hỏi dưới đây:

Phần 1: Chứng minh MN² = NF.NA

Những nội dung nào nằm trong phần chứng minh MN² = NF.NA ?

Phần 2: Chứng minh MN = NH

Hãy sắp xếp các bước làm dưới đây theo trình tự phù hợp:

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn làm từng bước dưới đây của TAK12 nhé!

b) Ở câu trước em đã biết cách chứng minh MN² = NF.NA và MN = NH. Tiếp theo hãy hoàn thành bai chứng minh chi tiết dưới đây:

Chứng minh:

Phần 1: Chứng minh MN² = NF.NA

Ta có:

(hai góc so le trong, 12.1 // MO)   (1)

Lại có OA = OF (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OAF cân tại 12.2

Mà (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 12.3)

⇒ = 12.4°   (2)

Từ (1) và (2) suy ra 

Xét ∆NMF và ∆NAM có:

chung

⇒ ∆NMF ∾ ∆12.5 (g.g)

⇒ NM² = NF.NA (đpcm)

Phần 2: Chứng minh MN = NH

Bước 1: Chứng minh

Xét ∆MAF và ∆MEA có:

chung

(cmt)

⇒ ∆MAF ∾ ∆12.6 (g.g)

⇒ MA² = MF.12.7   (3)

Xét ∆MAH và ∆MOA có:

12.8°

chung

⇒ ∆MAH ∾ ∆MOA (g.g)

⇒ MA² = 12.9.MO   (4)

Từ (3) và (4) suy ra 12.10.MF = 12.11.MO hay

Xét ∆MFH và ∆MOE có:

chung

⇒ ∆12.12 ∾ ∆MOE (c.g.c)

(hai góc tương ứng)

Bước 2: Chứng minh . Từ đó suy ra FH ⊥ NA.

Có MA = 12.13 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R

⇒ MO là đường trung trực của 12.14

⇒ AB ⊥ MO tại H và HA = 12.15

Mà AE // MO (gt) ⇒ AB ⊥ AE 

12.16°

Vì là góc vuông nội tiếp (O) nên BE là 12.17bán kínhđường kính hay E, 12.18, B thẳng hàng

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 12.19)

Mà

12.20°

⇒ FH ⊥ NA

Bước 3: Chứng minh NH² = NF.NA. Từ đó suy ra NM = NH.

Xét ∆NFH và ∆NHA có:

12.21°

chung

⇒ ∆NHF ∾ ∆12.22 (g.g)

⇒ NH² = NF.12.23

Mà NM² = NF.12.24 (cmt)

⇒ NM² = NH² 

⇒ NM = NH (đpcm)

c) Tính giá trị của biểu thức .

Trả lời: = .

Chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in...) được cho bởi công thức:  (đơn vị: vạn đồng). Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số  với T(x) là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí thấp nhất là bao nhiêu?

Trả lời: Chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí thấp nhất là đồng.