Đề số 14 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

7/1/2022 7:58:00 AM

Tỉ lệ học sinh bình chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá của trường được cho trong biểu đồ sau: 

Biết rằng có 500 học sinh tham gia bình chọn. Hãy cho biết bạn nào có số lượt bình chọn cao nhất và số lượt bình chọn là bao nhiêu?

Trả lời: Bạn có số lượt bình chọn cao nhất với số lượt bình chọn là .

Một hộp chứa 15 quả cầu màu xanh được đánh số từ 1 đến 15 và 5 quả cầu màu đỏ được đánh số từ 16 đến 20. Các quả cầu có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong hộp. Tính xác suất của các biến cố sau:

A: "Lấy được quả cầu ghi số chẵn"

B: "Lấy được quả cầu màu xanh và ghi số lẻ"

(Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời: P(A) = ; P(B) = .

Cho biểu thức với  x > 0, x ≠ 1.

a) Rút gọn biểu thức T, ta được:

b) Tìm x để .

(Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời: x = .

c) Tìm các giá trị nguyên của x để T nhận giá trị nguyên.

Trả lời: x = .

Bài toán:

Nhà kia con gái đi lấy chồng

Họ hàng khách khứa rất là đông

Tám người một cỗ thừa ba cỗ

Bảy người một cỗ bảy người không

Hỏi rằng cỗ bao nhiêu nhỉ?

Gia chủ mời khách liệu có đông?

Hãy giải bài toán trên.

Trả lời: Số cỗ là bàn cỗ; số khách mời là người.

Một chiếc áo có giá niêm yết là 120 000 đồng. Để thanh lý chiếc áo, đầu tiên người ta giảm giá x% so với giá niêm yết. Do vẫn chưa bán được chiếc áo nên người ta tiếp tục giảm giá x% so với giá vừa được giảm. Sau hai đợt giảm giá, giá của chiếc áo còn 76 800 đồng. Tìm x.

Trả lời: x = .

Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = 2x - m (với m là tham số). Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ và sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

Trả lời: m = .

Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng hai lần bán kính mặt đáy của thùng. Bên trong thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng (xem hình minh họa). Biết rằng đổ 12 lít nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy được vào bên trong phễu), tính thể tích của phễu.

Trả lời: Thể tích của phễu là lít.

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD và đường phân giác trong AO (D, O thuộc cạnh BC). Kẻ OM vuông góc với AB tại M, ON vuông góc với AC tại N.

a) Chứng minh năm điểm D, M, A, N, O cùng nằm trên một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

Do   ⊥ AB; ⊥ AC; ⊥ BC nên:

°

Gọi S là trung điểm của AO suy ra = SA = AO (1)

+) Xét tam giác OMA vuông tại M có là đường trung tuyến

⇒ SM = AO (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

+) Xét tam giác ONA vuông tại N có là đường trung tuyến

⇒ SN = AO (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

+) Xét tam giác ODA vuông tại D có là đường trung tuyến

⇒ SD = AO (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ SO = SA = = SN = SD = AO

Vậy 5 điểm O, D, M, A, N cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

b) Chứng minh OM = ON và .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Xét ∆OMA vuông tại và ∆ONA vuông tại có:

là cạnh chung

góc MAO = góc (AO là tia phân giác của góc BAC)

⇒ ∆OMA = ∆ONA ()

⇒ OM = ON. (đpcm)

+) Ta có:

° 

° 

Mà ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Lại có góc MAO = góc (tính chất đường phân giác)

Hơn nữa góc OAN = góc (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON)

. (đpcm)

c) Qua O, kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I. AI cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.

Gợi ý: Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh IP = IQ từ đó chứng minh K là trung điểm của BC.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước làm dưới đây theo trình tự phù hợp:

Bước 1
Bước 2
Bước 3


Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn làm từng bước dưới đây của TAK12 nhé!

c) Ở câu trước em đã biết cách chứng minh K là trung điểm của BC. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:

Bước 1: Chứng minh và .

Qua I, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại P, Q.

Ta có: PQ // BC; OI ⊥ BC (theo cách dựng)

⇒ PQ ⊥

+) ∆OIQ vuông tại nên ∆OIQ nội tiếp đường tròn đường kính có tâm là trung điểm của cạnh huyền OQ  (1)

+) ∆ONQ vuông tại nên ∆ONQ nội tiếp đường tròn đường kính có tâm là trung điểm của cạnh huyền OQ  (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm , I, N, Q cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác OINQ nội tiếp.

° (hai góc đối nhau)

Mà ° (hai góc kề bù)

+) ∆OIP vuông tại nên ∆OIP nội tiếp đường tròn đường kính có tâm là trung điểm của cạnh huyền OP  (4)

+) ∆OMP vuông tại nên ∆OMP nội tiếp đường tròn đường kính có tâm là trung điểm của cạnh huyền OP  (5)

Từ (4) và (5) suy ra bốn điểm O, I, , M cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác OIPM nội tiếp.

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Bước 2: Chứng minh . Từ đó suy ra IP = IQ.

Ta có OM = ON (cmt) nên ∆OMN cân tại

Mặt khác:

góc OMI + góc IMP = góc = °

góc ONI + góc INA = góc = °

 (6)

Từ (3) và (6) suy ra hay OI là đường phân giác của góc  

Mà OI ⊥ PQ suy ra ∆OPQ cân tại

⇒ OI cũng là đường trung tuyến của ∆OPQ 

⇒ = IQ.

Bước 3: Chứng minh KB = KC.

Xét ∆API và ∆ABK có:

(hai góc , PQ // BC)

chung

⇒  ∆AIP ∾ ∆ (g.g)

Xét ∆AQI và ∆ACK có:

(hai góc , PQ // BC)

chung

⇒  ∆ ∾ ∆ACK (g.g)

Từ (7) và (8) suy ra

Mà IP = IQ (cmt) nên KB =

Vậy K là trung điểm của BC. (đpcm)

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8 000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Tìm số máy móc công ty nên sử dụng để chi phí sản xuất 8 000 quả bóng là thấp nhất.

Trả lời: Công ty nên sử dụng máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.