Đề số 15 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

7/2/2022 7:58:00 AM

Một cửa hàng đã ghi lại cỡ các đôi giày đã bán trong một ngày và thu được biểu đồ tần số tương đối như sau:

Biết rằng trong ngày hôm đó cửa hàng đã bán ra 40 đôi giày. Hỏi cỡ giày nào được cửa hàng bán ra nhiều nhất và tần số tương ứng là bao nhiêu?

Trả lời: Cỡ giày được bán ra nhiều nhất là và ; tần số tương ứng là .

Một hộp chứa 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Dung lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từng viên bi từ trong hộp cho đến khi hết bi. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

  • A: "Viên bi màu xanh được lấy ra cuối cùng"
  • B: "Viên bi màu trắng được lấy ra trước viên bi màu đỏ"
  • C: "Viên bi lấy ra đầu tiên không phải là bi màu trắng"

(Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời: P(A) = ; P(B) = ; P(C) = .

Cho hai biểu thức và với x ≥ 0, x ≠ 4.

a) Tính giá trị của A khi x = 9.

Trả lời: A = .

b) Rút gọn biểu thức B, ta được:

Cho biểu thức P = A.B. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để P ≤ -1.

Trả lời: Có giá trị nguyên của x.

Anh Thuận đến cửa hàng điện máy mua 1 máy lạnh và 1 máy giặt để sử dụng trong gia đình. Khi đến mua hàng thì giá tiền của 1 máy lạnh tăng thêm 15% và giá tiền của 1 máy giặt giảm bớt 20% so với giá niêm yết. Vì vậy, anh Thuận phải thanh toán tổng cộng 19 400 000 đồng khi mua hai món hàng trên. Biết rằng theo giá niêm yết của cửa hàng, tổng giá tiền 2 máy lạnh nhiều hơn tổng giá tiền của 3 máy giặt là 3 000 000 đồng. Hỏi giá tiền niêm yết của 1 máy lạnh và 1 máy giặt là bao nhiêu?

Trả lời:

Giá niêm yết của 1 máy lạnh là đồng;

Giá niêm yết của 1 máy giặt là đồng.

Bạn An đi xe đạp từ nhà đến trường trên quãng đường dài 4 km. Khi đi từ trường về nhà vẫn trên con đường đó, An đạp xe với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình lúc đi là 3 km/h. Tổng thời gian đạp xe cả đi và về của An là 36 phút. Tính vận tốc đạp xe trung bình của An lúc đi từ nhà đến trường.

Trả lời: Vận tốc đạp xe trung bình của An lúc đi từ nhà đến trường là km/h.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 3mx - 3m + 1, trong đó m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, thỏa mãn x1 + 2x2 = 11.

(Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b nếu không nguyên và sắp xếp theo thứ tự tăng dần)

Trả lời: m ∈ {; }

Một con đê được đắp chắn sóng theo hình dưới (BC // AD, H và K lần lượt là hình chiếu của B và C trên AD), độ dài dốc của con đê phía sông là 7 m. Hỏi độ dài dốc ở phía còn lại của con đê dài bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai; chỉ làm tròn sau bước tính cuối cùng)

Trả lời: Độ dài dốc ở phía còn lại của con đê gần bằng m.

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn đã cho (M khác A và B), H là hình chiếu của M trên AB. Đường thẳng qua O và song song với MA cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O) tại điểm K.

a) Chứng minh tứ giác OBKM nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

  • Gọi P là giao điểm của OK và MB.

Xét nửa đường tròn (O) có:

+) góc AMB = ° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AM ⊥

Mà // OK (gt) ⇒ MB ⊥ tại P  (1)

+) ∆OMB cân tại (OM = = R) có OP là đường cao

⇒ OP cũng là đường trung tuyến 

⇒ là trung điểm của MB hay MP =   (2)

Từ (1) và (2) suy ra OK là đường trung trực của

⇒ KM = (tính chất đường trung trực)

+) Xét  ∆OMK và  ∆OBK có:

OK là cạnh chung

OM =

KM =

⇒ ∆OMK =  ∆OBK (c.c.c)

⇒ góc =  góc OBK

Mà góc OBK = ° (BK là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại B)

⇒ góc OMK = °.

  • Gọi S là trung điểm của OK suy ra = SK = OK (3)

Xét tam giác OMK vuông tại M có là đường trung tuyến

⇒ SM = OK (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (4)

Xét tam giác OBK vuông tại B có là đường trung tuyến

⇒ SB = OK (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (5)

Từ (3), (4), (5) ⇒ SO = SM = = SB = OK

Vậy tứ giác OBKM nội tiếp. (đpcm)

b) Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MA và MB. Gọi I là giao điểm của AK và MH. Chứng minh I là trung điểm CD.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Gọi N là giao điểm của AM và BK.

+) Xét  ∆BAN có:

// OK và là trung điểm của AB

⇒ là trung điểm của BN hay = KB.

Lại có MH ⊥ AB (gt) và BN ⊥ AB (gt)

⇒ // BN

+) Xét ∆AIM và ∆AKN có:

góc MAI chung

góc = góc AKN (hai góc , MH // BN)

⇒ ∆AIM ∾ ∆AKN (g.g)

+) Xét ∆AHI và ∆ABK có:

góc HAI chung

góc AHI = góc ABK = ° 

⇒ ∆ ∾ ∆AKB (g.g)

Từ (6) và (7) suy ra mà KB = KN (cmt)

⇒ IH = hay I là trung điểm của  

+) Lại có góc = góc CMD = góc MDH = °  (gt)

⇒ Tứ giác CMDH là hình chữ nhật

⇒ I là trung điểm của CD (tính chất hình chữ nhật). (đpcm)

c) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH và BH. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị lớn nhất.

  • M nằm trên nửa đường tròn sao cho ∆MAB vuông cân tại M.
  • M nằm trên nửa đường tròn sao cho ∆MCD đều.
  • M là trung điểm của CN.
  • M là trung điểm của AN.

Một cửa hàng bán 3 loại trái cây: táo, cam và quýt. Mỗi ngày, số lượng thùng táo, thùng cam và thùng quýt nhập về được ký hiệu lần lượt là x, y, z ( x, y, z là các số tự nhiên). Cửa hàng có các thông tin và điều kiện như sau:

1) Chi phí nhập mỗi thùng táo là 100 nghìn đồng, mỗi thùng cam là 200 nghìn đồng và mỗi thùng quýt là 100 nghìn đồng.

2) Tổng chi phí nhập không được vượt quá 1 triệu đồng.

3) Cửa hàng phải nhập đủ cả 3 loại trái cây.

4) Cửa hàng cần nhập ít nhất 3 thùng táo và cam cộng lại.

Lợi nhuận (lãi) thu về từ việc bán mỗi loại trái cây là: 200 nghìn đồng cho mỗi thùng táo, 300 nghìn đồng cho mỗi thùng cam và 100 nghìn đồng cho mỗi thùng quýt.

Giả định rằng tất cả số trái cây nhập về đều được bán hết trong ngày, hãy chỉ ra phương án nhập hàng giúp người bán hàng có được lợi nhuận cao nhất.

Trả lời: Phương án nhập thùng táo, thùng cam và thùng quýt giúp lợi nhuận của cửa hàng thu được cao nhất.