Đề số 16 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Hà Nội

Biểu đồ tần số ghép nhóm sau đây thể hiện kết quả khảo sát thành tích chạy 100 m của một số học sinh.

Hãy cho biết:

a) Có bao nhiêu học sinh chạy 100 m hết ít hơn 13 giây?

b) Có tổng số bao nhiêu học sinh tham gia khảo sát?

Trả lời: 

a) Có 1.1 học sinh chạy 100 m hết ít hơn 13 giây.

b) Có tổng số 1.2 học sinh tham gia khảo sát.

Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hai điểm A, B được tô màu đỏ; ba điểm C, D, E được tô màu xanh. Bạn Châu chọn ra ngẫu nhiên một điểm tô màu đỏ, sau đó chọn ngẫu nhiên một điểm tô màu xanh để nối thành một đoạn thẳng.

Tính xác suất của mỗi biến cố sau:  

X: “ Trong hai điểm được chọn ra có điểm A”.

Q: “ Trong hai điểm được chọn ra không có điểm C”. 

(Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời: P(X) = 2.1; P(Q) = 2.2.

Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức Q, ta được:

b) Tìm x để .

Trả lời: x = .

c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên lớn nhất.

Trả lời: x = .

Bảng A của một giải bóng đá gồm 4 đội bóng tham gia thi đấu, hai đội bóng bất kì thi đấu với nhau đúng một trận. Mỗi trận đấu, đội thua được 0 điểm, đội thắng được 3 điểm, hai đội hòa nhau mỗi đội được 1 điểm; số điểm của mỗi trận đấu bằng tổng số điểm của hai đội bóng tham gia trận đấu đó. Biết rằng tổng số điểm của tất cả các trận đấu bằng 16 điểm. Tính số trận hòa và số trận thắng (trận đấu có đội thắng, đội thua) của Bảng A.

Trả lời: Bảng A có 6.1 trận hòa và 6.2 trận thắng.

Một phòng họp có 255 ghế được xếp thành từng hàng, các hàng có số ghế bằng nhau. Tại phòng họp đó có 320 người đến dự họp, do đó người ta kê thêm 1 hàng ghế có số ghế như các hàng ban đầu; sau đó mỗi hàng ghế xếp thêm 3 ghế thì vừa đủ chỗ ngồi cho người dự họp. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế? (biết các ghế là như nhau và mỗi ghế chỉ một người ngồi).

Trả lời: Lúc đầu trong phòng họp có 7.1 hàng ghế và mỗi hàng có 7.2 ghế.

Cho phương trình (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn .

Trả lời: m = .

Từ trên một ngọn hải đăng cao 75 m , người ta quan sát hai lần thấy một chiếc thuyền đang di chuyển hướng về phía hải đăng với góc hạ lần lượt là 30° và 45° . Hỏi chiếc thuyền đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, chỉ làm tròn sau bước tính cuối cùng)

Trả lời: Chiếc thuyền đi được khoảng m giữa hai lần quan sát.

Bạn Việt làm một mô hình quả địa cầu có dạng hình cầu với đường kính là 16 cm. Bạn dùng màu xanh dương để tô màu cho các vùng địa hình là nước gồm biển, hồ, sông ngòi... Biết địa hình là nước chiếm 70% bề mặt quả địa cầu, tính diện tích phần được tô màu xanh dương. (Lấy $\pi \approx 3,14$)

Trả lời: Diện tích phần được tô màu xanh dương là cm². (Viết kết quả dưới dạng số thập phân)

Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Kẻ tia $Ax$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$. Trên tia $Ax$ lấy điểm $C$ sao cho $CA>R$. Kẻ tiếp tuyến $CD$ của $(O)$ ($D$ là tiếp điểm, $D$ khác $A$). Đường thẳng $CB$ cắt $(O)$ tại điểm $M$ ($M$ khác $B$).

a) Chứng minh tứ giác $ACDO$ nội tiếp đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

Góc OAC = 11.1° (AC là tiếp tuyến của (O) tại 11.2)

Góc ODC = 11.3° (DC là tiếp tuyến của (O) tại 11.4)

+) Gọi S là trung điểm của OC suy ra 11.5 = SC = 11.6OC (1)

+) Xét tam giác OAC vuông tại A có 11.7 là đường trung tuyến

⇒ SA = 11.8OC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

+) Xét tam giác ODC vuông tại D có 11.9 là đường trung tuyến

⇒ SD = 11.10OC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ SO = SA = 11.11 = SD = 11.12OC

Vậy tứ giác ACDO nội tiếp. (đpcm)

b) Chứng minh hai đường thẳng $BD$ và $OC$ song song với nhau.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

+) Ta có:

CA = 12.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OA = OD = R

⇒ OC là đường trung trực của 12.2

⇒ OC ⊥ 12.3  (3)

+) Lại có góc ADB = 12.4° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AD ⊥ 12.5  (4)

Từ (3) và (4) suy ra OC // BD. (đpcm)

c) Gọi P là giao điểm của AD và CO. Khi , tính độ dài đoạn thẳng MD theo R.

(Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, chỉ làm tròn sau bước tính cuối cùng).

Trả lời: MD ≈ R.

d) Gọi $I$ là trung điểm của $BM$; $E$, $K$, F, N lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $AD$ và $OI$, $ME$ và $AC$, $CD$ và BE, AE và BC. Chứng minh ba điểm K, N, F thẳng hàng.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước làm dưới đây theo trình tự phù hợp:

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn làm từng bước dưới đây của TAK12 nhé!

d) Chứng minh ba điểm K, N, F thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Bước 1: Chứng minh OI.OE = OM²

+) Xét ∆OMB cân tại 15.1 (OM = OB = R) có:

OI là đường trung tuyến (I là trung điểm của MB)

⇒ OI cũng là đường cao hay OI ⊥ MB ⇒ góc OIM = 15.2°

+) Xét ∆OIC và ∆OPE có:

góc IOP chung

góc OIM = góc OPE = 15.3°

⇒ ∆OIC ∾ ∆15.4 (g.g)

⇒ ⇒ OI.OE = 15.5.OC (5)

+) Xét ∆DOC và ∆POD có:

góc DOP chung

góc 15.6 = góc OPD = 15.7°

⇒ ∆DOC ∾ ∆POD (g.g)

⇒ ⇒ 15.8.OC = OD² = OM² (= R²)  (6)

Từ (5) và (6) ⇒ OI.OE = OM² ⇒

Bước 2: Chứng minh KE và BE là các tiếp tuyến của (O)

+) Xét ∆OIM và ∆OME có:

và góc IOM chung

⇒ ∆OIM ∾ ∆OME (c.g.c)

⇒ góc15.9 = góc OIM = 15.10°

⇒ KE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.

Từ OI.OE = OM² ⇒ OI.OE = OB² (OM = OB = R) ⇒

+) Xét ∆OIB và ∆OBE có:

và góc IOB chung

⇒ ∆OIB ∾ ∆OBE (c.g.c)

⇒ góc15.11 = góc OIB = 15.12°

⇒ BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.

Bước 3: Chứng minh AC = 2AK và BE = 2EF

+) AC và KE là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại 15.13

⇒ KA = 15.14

⇒ ∆KAM cân tại 15.15

⇒ góc KAM = góc 15.16 (7)

+) Góc AMB = 15.17° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ góc AMC = 15.18°

⇒ góc KCM + góc KAM = 90° ; góc CMK + góc KMA = 90° (8)

Từ (7) và (8) ⇒ góc KCM = góc CMK (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

⇒ ∆KCM cân tại K ⇒ 15.19 = KM mà KM = 15.20 (cmt)

⇒ KC = KA = 15.21AC hay AC = 2AK

+) BE và CD là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại 15.22

⇒ FD = 15.23

⇒ ∆FBD cân tại 15.24

⇒ góc FDB = góc 15.25 (9)

+) Góc ADB = 15.26° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ góc BDE = 15.27°

⇒ góc FBD + góc FED = 90° ; góc FDB + góc FDE = 90° (10)

Từ (9) và (10) ⇒ góc FED = góc FDE (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

⇒ ∆DEF cân tại F ⇒ 15.28 = FD mà FD = 15.29 (cmt)

⇒ FE = FB = 15.30BE hay BE = 2EF

Bước 4: Chứng minh góc ANK = góc ENF. Từ đó chứng minh K, N, F thẳng hàng.

Ta có BE ⊥ AB, AC ⊥ AB ⇒ AC // 15.31

+) Xét ∆ANC và ∆ENB có:

góc CAN = góc 15.32 (hai góc so le trong)

góc 15.33 = góc NBE (hai góc so le trong)

⇒ ∆ANC ∾ ∆ENB (g.g)

+) Xét ∆ANK và ∆ENF có:

và góc KAN = góc NEF

⇒ ∆ANK ∾ ∆ENF (c.g.c)

⇒ góc ANK = góc 15.34 (hai góc tương ứng)

Khi đó ta có:

180° = góc ANK + góc KNE = góc 15.35 + góc KNE = góc 15.36

Vậy 3 điểm K, N, F thẳng hàng. (đpcm)

Người ta muốn dùng một tấm bạt hình chữ nhật dài rộng để phủ kín mái và hai mặt trái, phải của một cái lều dài. Biết hai mái lều là các hình chữ nhật bằng nhau và hợp với nhau tạo thành góc vuông (hình vẽ). Tính độ cao h của cột lều để thể tích cái lều lớn nhất. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trả lời: Chiều cao cột lều h ≈ m thì thể tích cái lều lớn nhất.