Đề luyện thi môn Toán vào 10 năm 2025 Sở Hà Nội - Đề 17

Biểu đồ dưới đây cho biết số đầu sách đã đọc trong một năm của 20 em học sinh được lựa chọn ngẫu nhiên:

a) Có bao nhiêu học sinh đã đọc 15 đầu sách?

b) Trung bình mỗi học sinh trong một năm đã đọc bao nhiêu đầu sách? 

Trả lời:

a) Có 1.1 học sinh đã đọc 15 đầu sách.

b) Trung bình mỗi học sinh trong một năm đã đọc 1.2 đầu sách.

Một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm tám phần bằng nhau, ghi các số 1; 12; 18; 22; 27; 69; 96; 99 và gắn vào tâm của đĩa một trục quay, một mũi tên được gắn cố định bên ngoài như hình vẽ. Quay đĩa tròn một lần.

Tính xác suất của mỗi biến cố sau: 

B: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là bội của 11”

C: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là số chia cho 5 dư 2”. 

(Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời: P(B) = 2.1; P(C) = 2.2.

Cho biểu thức và với .

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16. (Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời: A = .

b) Rút gọn biểu thức B, ta được:

c) Đặt P = A : B. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để .

Trả lời: Có giá trị nguyên của x.

Trong lễ diễu binh, diễu hành kỷ niệm 70 năm Chiến thắng Điện Biên Phủ có sự tham gia của lực lượng Pháo lễ và lực lượng Không quân. Số lượng khẩu pháo chính thức nhiều hơn số lượng máy bay trực thăng chính thức là 6. Mỗi khẩu pháo cần 3 đồng chí pháo binh tham gia điều khiển, mỗi máy bay trực thăng cần 5 đồng chí phi công tham gia điều khiển. Biết rằng tổng số lượng chiến sĩ tham gia hoạt động diễu hành là 90 đồng chí. Tính số lượng khẩu pháo và máy bay trực thăng chính thức tham gia lễ diễu binh, diễu hành. 

Trả lời: Có 6.1 khẩu pháo và 6.2 máy bay trực thăng chính thức tham gia lễ diễu binh, diễu hành. 

Một xe khách và một xe tải xuất phát cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B trên quãng đường dài 180 km. Vận tốc xe khách lớn hơn vận tốc xe tải là 10 km/h nên xe khách đã đến B sớm hơn xe tải 36 phút. Tính vận tốc mỗi xe. 

Trả lời: Vận tốc của xe khách là 7.1 km/h; vận tốc của xe tải là 7.2 km/h.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2x + m với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ thỏa mãn .

Trả lời: m = .

Cho tháp nước như hình dưới đây, tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng hình trụ, phần mái phía trên dạng hình nón và đáy là nửa hình cầu. Không gian bên trong toàn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính đáy hình trụ, hình cầu và đường kính đáy của hình nón đều bằng 3 m, chiều cao hình trụ là 2 m, chiều cao của hình nón là 1 m.

a) Tính thể tích của toàn bộ không gian bên trong tháp nước.

Trả lời: Thể tích bên trong tháp nước là π m³. (Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b, chưa bao gồm số π)

b) Người ta muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của bồn chứa nước đó. Tính diện tích cần sơn. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, chỉ làm tròn sau bước tính cuối cùng)

Trả lời: Diện tích cần sơn là m².

Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho MB < MC. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, AB và AC.

a) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh tứ giác MDBE nội tiếp một đường tròn.

Chứng minh:

Ta có:

Góc MDC = góc MDB = 11.1° (11.2 là hình chiếu vuông góc của M trên BC)

Góc MEB = 11.3° (11.4 là hình chiếu vuông góc của M trên AB)

+) Gọi I là trung điểm của MB suy ra 11.5 = IM = 11.6MB (1)

+) Xét tam giác MEB vuông tại E có 11.7 là đường trung tuyến

⇒ IE = 1/211.8 (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

+) Xét tam giác MDB vuông tại D có 11.9 là đường trung tuyến

⇒ ID = 11.10MB (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ IM = IE = IB = 11.11 = 11.12MB

Hay tứ giác MEBD nội tiếp. (đpcm)

b) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh .

Chứng minh:

Ta có:

Góc MFC = góc MFA = 12.1° (12.2 là hình chiếu vuông góc của M trên AC)

+) Gọi S là trung điểm của MC suy ra 12.3 = SC = 12.4MC (4)

+) Xét tam giác MDC vuông tại D có 12.5 là đường trung tuyến

⇒ SD = {{1/2}MC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (5)

+) Xét tam giác MFC vuông tại F có 12.6 là đường trung tuyến

⇒ SF = 12.7MC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (6)

Từ (4), (5), (6) ⇒ SM = SD = 12.8 = SF = 12.9MC

Hay tứ giác MDFC nội tiếp.

⇒ góc FDC = góc 12.10 (hai góc nội tiếp cùng nhìn cạnh FC) (7)

+) Lại có tứ giác MEBD nội tiếp (cmt)

⇒ góc BDE = góc 12.11 (hai góc nội tiếp cùng nhìn cạnh EB) (8)

+) Tứ giác ABMC nội tiếp (O) nên góc ABM + góc ACM = 12.12° (hai góc đối nhau)

Mà góc ABM + góc 12.13 = 180° (hai góc kề bù)

⇒ góc ACM = góc 12.14

+) Xét ∆MCF và ∆MBE có:

góc MEB = góc MFC = 12.15°

góc 12.16 = góc FCM (cmt)

⇒ ∆MCF ∾ ∆MBE (g.g)

⇒ góc BME = góc 12.17 (9)

Từ (7), (8) và (9) suy ra góc BDE = góc FDC

Khi đó: góc EDF = góc BDE + góc BDF = góc 12.18 + góc BDF = góc BDC = 12.19° 

⇒ ba điểm E, 12.20, F thẳng hàng.

Lại có: góc DFM = góc DCM (hai góc nội tiếp cùng nhìn cạnh 12.21)

⇒ góc EFM = góc DFM = góc DCM = góc BCM. (đpcm)

c) Trên AM lấy điểm N sao cho MB = MN, gọi P là giao điểm của MF và CD. Chứng minh nếu M, D, N thẳng hàng thì MN = MP và tính diện tích tứ giác BMPN, cho biết MD = 3 cm và góc MBN có số đo 67,5°.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó cho biết các nội dung nào dưới đây nằm trong bài chứng minh trên?

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn làm từng bước dưới đây của TAK12 nhé!

c) Ở câu trước, em đã biết cách chứng minh nếu M, D, N thẳng hàng thì MN = MP và tính diện tích tứ giác BMPN. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:

(Kết quả viết dưới dạng số thập phân nếu số không nguyên)

Phần 1: Chứng minh MN = MP

+) Xét ∆MDB và ∆MFA có:

góc MDB = góc MFA = 14.1°

góc MBD = góc 14.2 (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn cung CM)

⇒ ∆MDB ∾ ∆14.3 (g.g)

⇒ góc BMD = góc 14.4 (hai góc tương ứng) (*)

+) Theo đề bài, 3 điểm M, D, N thẳng hàng

Mà M, N, A thẳng hàng (theo cách dựng)

⇒ M, D, 14.5 thẳng hàng (**)

Từ (*) và (**) suy ra MD là tia phân giác của góc 14.6.

+) Xét ∆MBP có MD vừa là đường cao (gt), vừa là đường phân giác (cmt)

⇒ ∆MBP cân tại 14.7

⇒ MB = 14.8, mà MB = MN (gt)

⇒ MN = MP.

Phần 2: Tính diện tích tứ giác BMPN

+) Ta có ∆MBN cân tại 14.9 (MN = MB)

⇒ góc BNM = góc 14.10 = 14.11°

⇒ góc BMN = 180° - góc BNM - góc 14.12 = 14.13°

+) Tam giác BMD vuông tại D có góc BMD = 14.14°

⇒ ∆BMD vuông cân tại D

⇒ BD = MD = 14.15 (cm) và góc MBD = 14.16°

⇒ góc NBD = góc NBM - góc MBD = 14.17°

+) Xét ∆BND vuông tại D có:

⇒ MN = 14.18 + ND = 14.19 + = 14.20 (cm)

+) S_∆MBN = 14.21 . BD . MN =  (cm²)

+) Xét ∆MBN và ∆NMP có:

MB = 14.22 (cmt)

góc BMN = góc NMP

14.23 là cạnh chung

⇒ ∆MBN = ∆MPN (c.g.c)

⇒ S_∆MBN = S_∆NMP 

⇒ S_BMPN = 14.24S_∆MBN =  (cm²)

Vậy diện tích tứ giác BMPN là (cm²).

Một người nông dân chuẩn bị 15 000 000 đồng cho việc làm một hàng rào hình chữ E dọc theo bờ sông để tạo thành một khu đất trồng rau có hai ô hình chữ nhật như nhau có kích thước như hình vẽ. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng một mét rào, còn đối với ba mặt hàng rào còn lại thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét rào. Tìm x và y để diện tích đất trồng rau thu được là lớn nhất.

Trả lời: x = 15.1 m; y = 15.2 m. (Kết quả viết dưới dạng số thập phân nếu số không nguyên)