Tổng hợp các câu hỏi khó phần Hình học trong đề thi Toán vào 10 Sở Hà Nội năm 2025 - Phần 1

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M ≠ A; B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.

a) Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp và .

+) Tiếp tuyến tại A và M cắt nhau tại C nên: 

Suy ra: 1.1

Do đó: vuông tại A, suy ra ba điểm C, A, O nằm trên đường tròn đường kính 1.2 (1)

Tương tự: vuông tại M, suy ra ba điểm C, M, O nằm trên đường tròn đường kính 1.3 (2)

Từ (1) và (2), suy ra bốn điểm A, C, M, O cùng nằm trên đường tròn đường kính 1.4 hay tứ giác ACMO nội tiếp. (đpcm)

+) Lại có: Tiếp tuyến tại A và M của (O) cắt nhau tại C nên 1.5 là tia phân giác của .

Suy ra:

Tương tự: 1.6 là tia phân giác của nên

Do đó, ta có:

+) Lại có: CA, DB là các tiếp tuyến của (O) nên

Suy ra: CA  // DB

Xét tứ giác CABD có: CA // DB nên tứ giác CABD là hình thang. 

Do đó: 1.7

1.8 = 1.9 (3)

+) Mặt khác, ta có: vuông tại M nên 1.10 (4)

Từ (3) và (4) suy ra: (5)

Mà tứ giác ACMO nội tiếp (cmt) nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 1.11

Do đó: . (đpcm)

b) Gọi P là giao điểm CD và AB. Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh PA.PO = PC.PM.

Ta có:  nên 2.1

Xét và có:

2.2

chung

2.3 (g.g)

. (đpcm)

c) Gọi E là giao điểm của AM và BD; F là giao điểm của AC và BM. Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh E; F; P thẳng hàng.

+) Ta có: vuông tại A nên: 3.1 (7)

Lại có: (8)

Mặt khác: tứ giác ACMO nội tiếp (từ phần a) nên số đo cung 3.2 (9)

Từ (7), (8) và (9) suy ra: 3.3 (10)

+) có   3.4 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra: vuông tại M, nên 3.5 hay    3.6 (11)

+) Từ (10) và (11) suy ra: , mà hai góc này là hai góc đồng vị

Suy ra: CO // BM hay CO // BF

Do đó: , suy ra: AF = 3.7AC

Chứng minh tương tự, ta được: , suy ra: BE = 3.8BD

+) Lại có: AC // BD (cmt) hay AF // BE, suy ra:

+) Xét và :

3.9

3.10 (c.g.c)

(2 góc tương ứng)

Suy ra: P, F, E thẳng hàng. (đpcm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại điểm S. Gọi H là trung điểm của BC.

a) Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh SAOH là tứ giác nội tiếp.

+) Xét có: OB = 4.1 nên cân tại 4.2

Mà OH là đường trung tuyến

⇒ OH đồng thời là đường cao của , do đó: 4.3 ⊥ BC

4.4

⇒ vuông tại 4.5

⇒ ba điểm O, H, S cùng thuộc đường tròn đường kính 4.6 (1)

+) SA là tiếp tuyến của (O) nên  4.7

⇒ vuông tại 4.8

⇒ ba điểm O, A, S cùng thuộc đường tròn đường kính 4.9 (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm O, 4.10, S, H cùng thuộc một đường tròn

Do đó tứ giác SAOH nội tiếp. (đpcm)

b) Kẻ . Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh .

Phần 1: Chứng minh .

+) Tứ giác SAOH nội tiếp nên (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 5.1)

vuông tại A nên:  5.2 hay  5.3

Suy ra:  5.4 - (2)

+) hay nên vuông tại 5.5, suy ra:  5.6

Suy ra:  5.7 - (3)

Từ (2) và (3), suy ra: (4)

Từ (1) và (4) suy ra:  (5)

Suy ra: (theo tỉ số lượng giác trong vuông tại I). (đpcm)

Phần 2: Chứng minh .

+) Ta có:

5.8

Suy ra: 5.9 (6)

+) Lại có: số đo cung 5.10 (7)

Từ (5), (6) và (7) suy ra: 5.11 (8)

+) Xét có:

5.12

 5.13

 5.14

5.15 5.16

 5.17  (9)

Từ (8) và (9) suy ra: . (đpcm)

c) Đường thẳng SO cắt đường tròn (O) tại E sao cho O nằm giữa S và E.  Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh .

+) Gọi giao điểm của SE và (O) là D

Xét và có: 

6.1

chung

6.2 (g.g)

(10)

+) Xét và  có: 

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung 6.3)

chung

6.4 (g.g)

(11)

+) Từ (10) và (11) suy ra: 

SD.6.5 = SI.SO 

(SE - 6.6).SE = (SE - 6.7).(SE - 6.8)

(SE - 6.9R).SE = (SE - 6.10).(SE - R) 

SE² - 6.11R.SE = SE² - R.SE - IE.SE + R.6.12

SE² - R. SE - IE. SE + R. IE - SE² + 6.13R. SE = 0 

R. 6.14 - IE.SE + R.IE = 0 

R (6.15 + IE ) = IE.SE

(đpcm)

Cho đường tròn (O, R), một đường thẳng d cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, từ một điểm M thuộc đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MC, MD, tới đường tròn (C, D là tiếp điểm).

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh bốn điểm M, C, O, D cùng thuộc một đường tròn.

Xét (O) có:

+) MC và MD là hai tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) 

7.1; 7.2

+) Gọi O' là trung điểm  của MO suy ra:

(1)

+) Xét tam giác OCM vuông tại C (cmt) có:

7.3 (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

+) Xét tam giác ODM vuông tại D (cmt) có:

7.4 (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

Từ  (1), (2), (3) suy ra:

Vậy bốn điểm M, C, O, D cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

Đoạn thẳng OM cắt đường tròn I, điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh OM ⊥CD và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

+) Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại M nên:

MC = 8.1; MO là tia phân giác của

cân tại 8.2 có MO là đường phân giác

MO đồng thời là đường cao của

(đpcm).

8.3 (4)

+) Lại có vuông tại C 

8.4 (5)

Mà cân tại O (do OC = 8.5) nên (6)

Từ (4), (5), (6) suy ra:

CI là đường phân giác của

Mà MO là đường phân giác của (cmt) và MI cắt CI tại 8.6

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp (đpcm).

Đường thẳng qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. AH cắt (O) tại K khác A, KE cắt (O) tại M khác K, BM cắt EF tại N.

a) Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

+) Gọi I là trung điểm của BC, suy ra: IB = 10.1 = (1)

+) BE là đường cao của ∆ABC (gt) nên BE ⊥ AC

⇒ ∆BEC vuông tại 10.2, có 10.3 là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền (do I là trung điểm của BC)

⇒ 10.4 = (2)

+) Chứng minh tương tự, ta được: ∆BFC vuông tại 10.5, có 10.6 là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền (do I là trung điểm của BC)

⇒ 10.7 = (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

Do đó 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn tâm 10.8 bán kính .

Hay tứ giác BCEF nội tiếp. (đpcm)

b) Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh .

Ta có:  (hai góc nội tiếp chắn cung 11.1 trong tứ giác BCEF nội tiếp) hay (4)

Lại có: (hai góc nội tiếp chắn cung 11.2 của đường tròn (O)) hay (5)

Gọi D là giao điểm của AH và BC.

+) Xét ∆ABC có: BE và CF là hai đường cao cắt nhau tại H (gt)

Do đó: 11.3 là trực tâm của ∆ABC 

Nên: AH ⊥ BC hay AD ⊥ BC, suy ra ∆ABD vuông tại 11.4

Do đó: 11.5° hay 11.6° (6)

+) ∆BFC vuông tại F (câu a) nên:

11.7° hay 11.8° (7)

Từ (6) và (7), suy ra: (8)

Từ (4), (5) và (8), suy ra:

Xét ∆BEN và ∆BME có:

chung

⇒ ∆BEN ∼ ∆11.9 (g.g)

. (đpcm)

c) Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh N là trung điểm của EF.

Kẻ EJ ⊥ AB

+) Xét và   có:

chung

12.1 

12.2 (g.g)

(theo câu b)

+) Xét và   có:

chung

12.3 (c.g.c)

(2 góc tương ứng) hay

+) Lại có (hai góc nội tiếp chắn cung 12.4 của đường tròn (O))

(9)

+) Tứ giác BCEF nội tiếp nên:

12.5° (tính chất)

Mặt khác: 12.6° (hai góc kề bù)

(10)

Từ (9), (10) suy ra:

⇒ ∆FJN cân tại 12.7

⇒ NF = 12.8  (11)

+) ∆FJE vuông tại 12.9 nên:

12.10 

  12.11

Mà (cmt)

⇒ ∆EJN cân tại 12.12

⇒ NE = 12.13  (12)

Từ (11) và (12) suy ra: NE = NF (= NJ)

Vậy N là trung điểm của EF. (đpcm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE  và CF đồng quy tại H. Đường cao CF cắt đường tròn (O) tại N, gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên EF và I là trực tâm tam giác  AEF.

a) Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.

+) Ta có BE và CF là đường cao của ∆ABC nên BE ⊥ 13.1 và CF ⊥ 13.2

Suy ra 13.3

+) ∆AFH vuông tại 13.4 nên ba điểm A, F, H cùng thuộc đường tròn đường kính 13.5 (1)

+) ∆AEH vuông tại 13.6 nên ba điểm A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính 13.7 (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm A, 13.8, H, F cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác AEHF nội tiếp. (đpcm)

b) Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh BN.BE = BF. BA và tứ giác EHFI là hình bình hành.

+) Xét và có:

14.1 (theo giả thiết)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 14.2)

14.3 (g.g)

. (đpcm)

+) Vì H, I lần lượt là trực tâm của tam giác  ABC và AEF nên ta có:

HE và FI cùng vuông góc với 14.4 suy ra HE // FI (3)

Tương tự HF và 14.5 cùng vuông góc với AB nên suy ra HF // 14.6 (4)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác  EHFI là hình bình hành. (đpcm)

c) Gọi M là trung điểm của DK. Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh AM đi qua trung điểm của EF.

+) Ta có  BE ⊥ AC và CF ⊥ AB suy ra  15.1°

∆BFC vuông tại 15.2 nên ba điểm B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính 15.3 (5)

∆BEC vuông tại 15.4 nên ba điểm B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính 15.5 (6)

Từ (5) và (6) suy ra bốn điểm B, C, 15.6, F cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác BCEF nội tiếp.

Suy ra 15.7° mà  15.8°

Suy ra  hay

+) Xét và  có:

15.9 (do )

15.10 (g.g)

+) Ta có: (hai góc đồng vị)

Mà (hai góc nội tiếp chắn cung 15.11 trong tứ giác BCEF nội tiếp)

Nên

+) Xét và  có:

(do (2 góc tương ứng))

15.12 (g.g)

Từ (7) và (8) suy ra (Thales đảo)

+) Giả sử AM cắt IH tại P, khi đó ta có:

(cùng bằng )

Mà MK = MD nên suy ra IP = HP.

Do đó P là trung điểm của đoạn 15.13

Mặt khác, tứ giác HEIF là hình bình hành nên hai đường chéo IH và 15.14 cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra P cũng là trung điểm của đoạn 15.15 hay AM đi qua trung điểm của EF. (đpcm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (BA < BC) và nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại I. Tia BI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D.

a) Điền vào ô trống đề hoàn thành bài chứng minh tứ giác OAIC nội tiếp.

Chứng minh:

Gọi S là trung điểm của OI.

Do AI, CI là tiếp tuyến của (O) nên 16.1 ⊥ OA; 16.2 ⊥ OC

⇒ ∆OIA vuông tại 16.3 và ∆OCI vuông tại 16.4

Xét ∆OIA vuông tại 16.5, có S là trung điểm của OI

⇒ 3 điểm O, I, 16.6 cùng thuộc đường tròn (S) đường kính OI (1)

Xét ∆OCI vuông tại 16.7, có S là trung điểm của OI

⇒ 3 điểm O, I, 16.8 cùng thuộc đường tròn (S) đường kính OI (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, O, C, 16.9 cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác OAIC nội tiếp. (đpcm)

b) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh IC² = IB.ID.

Chứng minh:

Ta có OD = OC (hai bán kính của (O))

⇒ ∆ODC cân tại 17.1

Lại có  (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 17.2)

⇒ = 17.3° 

Xét ∆ICD và ∆ICB có:

là góc chung

(cmt)

⇒ ∆ICD ∾ ∆17.4 (g.g)

⇒ IC² = IB.17.5. (đpcm)

c) Gọi M là trung điểm của BD. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh OM ⊥ AE.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó hãy cho biết các nội dung nào nằm trong phần c/m OM ⊥ AE?

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết cách để chứng minh OM ⊥ AE. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:

Chứng minh:

Bước 1: Chứng minh

Ta có OA = OC (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OAC cân tại 19.1

Lại có (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 19.2)

⇒ = 19.3° (3)

Bước 2: Chứng minh

Ta có OB = OD (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OBD cân tại O

Mà OM là đường 19.4trung tuyếntrung trựcphân giác (M là trung điểm của BD)

⇒ OM đồng thời cũng là đường cao hay OM ⊥ BD.

Xét ∆OMI vuông tại 19.5, có S là trung điểm của OI

Lại có:

(cmt)

Do đó: SM = SC = SO = SI

⇒ 4 điểm O, C, 19.6, M cùng thuộc một đường tròn

Mà 4 điểm  O, C, I, A cùng thuộc một đường tròn (cmt)

⇒ 5 điểm O, C, I, A, 19.7 cùng thuộc một đường tròn

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 19.8) (4)

Bước 3: Chứng minh AE // BD, từ đó suy ra OM ⊥ AE.

Từ (3) và (4) suy ra

Mà (hai góc đối đỉnh)

Mà hai góc trên ở vị trí 19.9so le trongđồng vị

⇒ AE // BD

Mà OM ⊥ BD (cmt)

⇒ OM ⊥ AE. (đpcm)

Cho đường tròn (O, R), một đường thẳng d cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, từ một điểm M thuộc đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MC, MD tới đường tròn (C, D là tiếp điểm). Đoạn thẳng OM cắt đường tròn tại I.

a) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh bốn điểm M, C, O, D cùng thuộc một đường tròn.

Chứng minh:

Gọi S là trung điểm của OM.

Do CM, DM là tiếp tuyến của (O) nên 20.1 ⊥ CM; 20.2 ⊥ DM

⇒ ∆OCM vuông tại 20.3 và ∆ODM vuông tại 20.4

Xét ∆OCM vuông tại 20.5, có S là trung điểm của OM

⇒ 3 điểm O, M, 20.6 cùng thuộc đường tròn (S) đường kính 20.7 (1)

Xét ∆ODM vuông tại 20.8, có S là trung điểm của OM

⇒ 3 điểm O, M, 20.9 cùng thuộc đường tròn (S) đường kính 20.10 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm D, O, C, 20.11 cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

b) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh OM ⊥ CD và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

Chứng minh:

Phần 1: Chứng minh OM ⊥ CD

Ta có MC và MD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại 21.1

⇒ MC = 21.2 (tính chất)

Mà OC = OD (hai bán kính của (O))

⇒ 21.3 là đường trung trực của CD

⇒ OM ⊥ CD. (đpcm)

Phần 2: Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

Vì MC và MD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên 21.4 là tia phân giác của

Ta có:

21.5° (∆OCM vuông tại C) (3)

21.6° (do OM ⊥ CD) (4)

Lại có:

OI = OC (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OIC cân tại 21.7

(5)

Từ (3), (4), (5) suy ra

⇒ 21.8 là tia phân giác của

Xét ∆MCD có MO và CI là hai đường phân giác cắt nhau tại 21.9

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD. (đpcm)

c) Đường thẳng qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích ∆MPQ nhỏ nhất.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước giải dưới đây theo trình tự phù hợp:

Bước 1: 22.1Tính diện tích ∆MPQTính MD.DQTìm giá trị nhỏ nhất của MD + DQ

Bước 2: 22.2Tính diện tích ∆MPQTìm giá trị nhỏ nhất của MD + DQTính MD.DQ

Bước 3: 22.3Tìm giá trị nhỏ nhất của MD + DQTính diện tích ∆MPQTính MD.DQ

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết cách để tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất. Tiếp theo hãy hoàn thành bài giải chi tiết dưới đây:

Bước 1: Tính diện tích ∆MPQ

Xét ∆MPQ có 23.1 là đường cao (do OM ⊥ PQ)

Mà MO là tia phân giác của

⇒ ∆MPQ cân tại 23.2

⇒ MO cũng là đường trung tuyến

⇒ O là trung điểm của 23.3

⇒ 23.4 = OQ =

Do đó, S_∆MPQ nhỏ nhất khi và chỉ khi MD + DQ nhỏ nhất.

Bước 2: Tính MD.DQ

Ta có:

(∆ODQ vuông tại 23.5)

(∆MDO vuông tại D)

Mà (∆MOQ vuông tại 23.6)

(tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau)

⇒ DQ.23.7 = OD² = R² không đổi.

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của MD + DQ, từ đó suy ra vị trí điểm M

Do đó:

(bất đẳng thức Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi MD = 23.8 = R.

Khi đó:

Hay M là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn tâm O, bán kính .

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ B và C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E.

a) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh tứ giác ADBH nội tiếp.

Chứng minh:

Gọi S là trung điểm của AB

Ta có BC ⊥ AH tại 24.1

⇒ ∆ABH vuông tại 24.2, mà S là trung điểm của AB

Lại có BD tiếp xúc với (A) tại D

⇒ 24.3 là tiếp tuyến của (A)

⇒ AD ⊥ BD tại 24.4

⇒ ∆ABD vuông tại 24.5, mà S là trung điểm của AB

Từ (1) và (2) suy ra SD = SH = SA = 24.6

Do đó, 4 điểm A, D, 24.7, H cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ADBH nội tiếp. (đpcm)

b) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A.

Chứng minh:

Xét (A; AH) có:

+) BC ⊥ AH tại 25.1 nên BC là tiếp tuyến của (A) tại H.

Khi đó ta có BC và BD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại 25.2

⇒ 25.3 là tia phân giác của

⇒ = 25.4

+) Ta có CE tiếp xúc với (A) tại E

⇒ 25.5 là tiếp tuyến của (A) tại E.

Khi đó ta có BC và CE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại 25.6

⇒ 25.7 là tia phân giác của

⇒ = 25.8

+) Lại có (do ∆ABC vuông tại A)

= 25.9° 

⇒ 3 điểm D, A, E thẳng hàng

Mà AD = 25.10 (hai bán kính của (A))

⇒ D và E đối xứng với nhau qua A. (đpcm)

c) Gọi P, Q là giao điểm của đường tròn đường kính BC và đường tròn (A: AH). Chứng minh DE // PQ.

Gọi O là trung điểm của BC.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó cho biết các nội dung nào nằm trong phần c/m DE // PQ?

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết cách chứng minh DE // PQ, tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:

Chứng minh:

Bước 1: Chứng minh OA ⊥ PQ

Gọi O là trung điểm của BC.

Xét ∆ABC vuông tại A có 27.1 là đường trung tuyến

⇒ OA = OB = 27.2

⇒ đường tròn đường kính BC cũng là đường tròn (O; OA).

Ta có:

AP = AQ (hai bán kính của (A))

⇒ 27.3 thuộc đường trung trực của PQ (1)

OP = OQ (hai bán kính của (O))

⇒ 27.4 thuộc đường trung trực của PQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của PQ

⇒ 27.5 ⊥ PQ.

Bước 2: Chứng minh OA ⊥ DE, từ đó suy ra PQ // DE

Xét ∆ABC và  ∆AHC có:

là góc chung

⇒ ∆ABC ∾ ∆27.6 (g.g)

(3)

Xét ∆AEC và ∆AHC có:

AE = 27.7 (hai bán kính của (A))

AC là cạnh chung

⇒ ∆AEC = ∆AHC (27.8hai cạnh góc vuôngcạnh huyền - cạnh góc vuông)

(4)

Từ (3) và (4) suy ra

Lại có OA = OC (cmt)

⇒ ∆OAC cân tại 27.9

Mà (do ∆ABC vuông tại A)

27.10° 

27.11° hay OA ⊥ AE

⇒ OA ⊥ 27.12

Mà OA ⊥ PQ (cmt)

⇒ PQ // DE. (đpcm)

Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho MB < MC. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, AB và AC.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh tứ giác MDFC nội tiếp một đường tròn.

Chứng minh:

Gọi S là trung điểm của MC

Ta có MD ⊥ BC tại 28.1

⇒ ∆MDC vuông tại 28.2, mà S là trung điểm của MC

⇒ 28.3 = SM = SC =   (1) 

Lại có MF ⊥ AC tại 28.4

⇒ ∆MFC vuông tại 28.5, mà S là trung điểm của MC

⇒ 28.6 = SM = SC =   (2) 

Từ (1) và (2) suy ra SD = SF = SM = 28.7

Do đó, 4 điểm M, D, F, C cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác MDFC nội tiếp. (đpcm)

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh ME.MC = MF.MB và ba điểm D,E,F thẳng hàng.

Phần 1: Chứng minh ME.MC = MF.MB

+) Vì tứ giác ABMC nội tiếp (theo cách dựng) nên 29.1° (hai góc đối nhau)

Mà góc MBA + góc 29.2 = 180° (hai góc kề bù)

⇒ góc 29.3 = góc MCA

+) Xét ∆MBE và ∆MCF có:

29.4°

góc 29.5 = góc MCA

⇒ ∆MBE ∾ ∆MCF (g.g)

⇒ MB.MF = 29.6.ME (đpcm)

Phần 2: Chứng minh D,E,F thẳng hàng.

+) Gọi I là trung điểm của MB

∆MEB vuông tại 29.7, có EI là đường trung tuyến

⇒ 29.8 = IM = IB =   (3) 

∆MDB vuông tại 29.9, có DI là đường trung tuyến

⇒ 29.10 = IM = IB =   (4) 

Từ (3) và (4) suy ra ID = 29.11 = IM = IB

Do đó, 4 điểm E, M, D, 29.12 cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác MDBE nội tiếp.

⇒ góc 29.13 = góc BME (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB) (5)

+) Lại có tứ giác MDFC nội tiếp (cmt)

⇒ góc 29.14 = góc FMC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FC) (6)

Mặt khác, ∆MBE ∾ ∆MCF (cmt)

⇒ góc BME = góc 29.15 (7)

Từ (5), (6), (7) ⇒ góc BDE = góc FDC

+) Ta có góc EDF = góc BDE + góc BDF = góc 29.16 + góc BDF = góc BDC = 29.17°

Suy ra E, D, F thẳng hàng (đpcm)

Khi tam giác ABC đều thì giá trị của biểu thức bằng bao nhiêu?

Trả lời: .

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

Ở câu trước, em đã biết cách tính giá trị biểu thức , tiếp theo hãy hoàn thành bài làm chi tiết dưới đây:

+) Trên MA lấy điểm G sao cho MB = MG

Ta có: 31.1° (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB và ∆ABC đều)

Mà MB = MG (theo cách dựng)

⇒ ∆MBG 31.2vuôngcânđều

⇒ BG = BM

+) Xét ∆ABG và ∆BMC có:

BG = BM

BA = 31.3 (∆ABC đều)

⇒ ∆31.4 = ∆BMC (c.g.c)

⇒ 31.5 = MC (hai cạnh tương ứng)

⇒ MB + MC = MG + 31.6 = 31.7  (7)

+) Xét ∆MDC và ∆MEA có:

31.8° 

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 31.9)

⇒ ∆MDC ∾ ∆MEA (g.g)

+) Xét ∆MDB và ∆MFA có:

  31.10° 

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 31.11)

⇒ ∆MDB ∾ ∆MFA (g.g)

+) Từ (7), (8), (9) ta có:

Vậy khi tam giác ABC đều thì .