Tổng hợp các câu hỏi khó phần Hình học trong đề thi Toán vào 10 Sở Hà Nội năm 2025 - Phần 2
2/22/2025 9:50:00 AMCho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD và đường phân giác trong AO (D, O thuộc cạnh BC). Kẻ OM vuông góc với AB tại M, ON vuông góc với AC tại N.
a) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh năm điểm D, M, A, N, O cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh:
Do ⊥ AB; ⊥ AC; ⊥ BC nên:
°
Gọi S là trung điểm của AO suy ra = SA = AO (1)
+) Xét tam giác OMA vuông tại M có là đường trung tuyến
⇒ SM = AO (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)
+) Xét tam giác ONA vuông tại N có là đường trung tuyến
⇒ SN = AO (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)
+) Xét tam giác ODA vuông tại D có là đường trung tuyến
⇒ SD = AO (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ SO = SA = = SN = SD = AO
Vậy 5 điểm O, D, M, A, N cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)
b) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh OM = ON và 
.
+) Xét ∆OMA vuông tại và ∆ONA vuông tại có:
là cạnh chung
góc MAO = góc (AO là tia phân giác của góc BAC)
⇒ ∆OMA = ∆ONA ()
⇒ OM = ON. (đpcm)
+) Ta có:
°
°
Mà 
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Lại có góc MAO = góc (tính chất đường phân giác)
Hơn nữa góc OAN = góc (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON)
. (đpcm)
c) Qua O, kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I. AI cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Gợi ý: Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh IP = IQ từ đó chứng minh K là trung điểm của BC.
Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước làm dưới đây theo trình tự phù hợp:
| Bước 1 | |
| Bước 2 | |
| Bước 3 |
Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn làm từng bước dưới đây của TAK12 nhé!
c) Ở câu trước em đã biết cách chứng minh K là trung điểm của BC. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:
Bước 1: Chứng minh 
và 
.
Qua I, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại P, Q.
Ta có: PQ // BC; OI ⊥ BC (theo cách dựng)
⇒ PQ ⊥
+) ∆OIQ vuông tại nên ∆OIQ nội tiếp đường tròn đường kính có tâm là trung điểm của cạnh huyền OQ (1)
+) ∆ONQ vuông tại nên ∆ONQ nội tiếp đường tròn đường kính có tâm là trung điểm của cạnh huyền OQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm , I, N, Q cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác OINQ nội tiếp.
° (hai góc đối nhau)
Mà 
° (hai góc kề bù)
+) ∆OIP vuông tại nên ∆OIP nội tiếp đường tròn đường kính có tâm là trung điểm của cạnh huyền OP (4)
+) ∆OMP vuông tại nên ∆OMP nội tiếp đường tròn đường kính có tâm là trung điểm của cạnh huyền OP (5)
Từ (4) và (5) suy ra bốn điểm O, I, , M cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác OIPM nội tiếp.
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Bước 2: Chứng minh 
. Từ đó suy ra IP = IQ.
Ta có OM = ON (cmt) nên ∆OMN cân tại
Mặt khác:
góc OMI + góc IMP = góc = °
góc ONI + góc INA = góc = °
(6)
Từ (3) và (6) suy ra hay OI là đường phân giác của góc
Mà OI ⊥ PQ suy ra ∆OPQ cân tại
⇒ OI cũng là đường trung tuyến của ∆OPQ
⇒ = IQ.
Bước 3: Chứng minh KB = KC.
Xét ∆API và ∆ABK có:
(hai góc , PQ // BC)
chung
⇒ ∆AIP ∾ ∆ (g.g)
Xét ∆AQI và ∆ACK có:
(hai góc , PQ // BC)
chung
⇒ ∆ ∾ ∆ACK (g.g)
Từ (7) và (8) suy ra 
Mà IP = IQ (cmt) nên KB =
Vậy K là trung điểm của BC. (đpcm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn đã cho (M khác A và B), H là hình chiếu của M trên AB. Đường thẳng qua O và song song với MA cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O) tại điểm K.
a) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh tứ giác OBKM nội tiếp.
Chứng minh:
- Gọi P là giao điểm của OK và MB.
Xét nửa đường tròn (O) có:
+) góc AMB = ° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AM ⊥
Mà // OK (gt) ⇒ MB ⊥ tại P (1)
+) ∆OMB cân tại (OM = = R) có OP là đường cao
⇒ OP cũng là đường trung tuyến
⇒ là trung điểm của MB hay MP = (2)
Từ (1) và (2) suy ra OK là đường trung trực của
⇒ KM = (tính chất đường trung trực)
+) Xét ∆OMK và ∆OBK có:
OK là cạnh chung
OM =
KM =
⇒ ∆OMK = ∆OBK (c.c.c)
⇒ góc = góc OBK
Mà góc OBK = ° (BK là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại B)
⇒ góc OMK = °.
- Gọi S là trung điểm của OK suy ra = SK = OK (3)
Xét tam giác OMK vuông tại M có là đường trung tuyến
⇒ SM = OK (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (4)
Xét tam giác OBK vuông tại B có là đường trung tuyến
⇒ SB = OK (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (5)
Từ (3), (4), (5) ⇒ SO = SM = = SB = OK
Vậy tứ giác OBKM nội tiếp. (đpcm)
b) Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MA và MB. Gọi I là giao điểm của AK và MH. Chứng minh I là trung điểm CD.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Gọi N là giao điểm của AM và BK.
+) Xét ∆BAN có:
// OK và là trung điểm của AB
⇒ là trung điểm của BN hay = KB.
Lại có MH ⊥ AB (gt) và BN ⊥ AB (gt)
⇒ // BN
+) Xét ∆AIM và ∆AKN có:
góc MAI chung
góc = góc AKN (hai góc , MH // BN)
⇒ ∆AIM ∾ ∆AKN (g.g)
+) Xét ∆AHI và ∆ABK có:
góc HAI chung
góc AHI = góc ABK = °
⇒ ∆ ∾ ∆AKB (g.g)
Từ (6) và (7) suy ra 
mà KB = KN (cmt)
⇒ IH = hay I là trung điểm của
+) Lại có góc = góc CMD = góc MDH = ° (gt)
⇒ Tứ giác CMDH là hình chữ nhật
⇒ I là trung điểm của CD (tính chất hình chữ nhật). (đpcm)
c) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH và BH. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị lớn nhất.
- M nằm trên nửa đường tròn sao cho ∆MAB vuông cân tại M.
- M nằm trên nửa đường tròn sao cho ∆MCD đều.
- M là trung điểm của CN.
- M là trung điểm của AN.
Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho MB < MC. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, AB và AC.
a) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh tứ giác MDBE nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh:
Ta có:
Góc MDC = góc MDB = ° ( là hình chiếu vuông góc của M trên BC)
Góc MEB = ° ( là hình chiếu vuông góc của M trên AB)
+) Gọi I là trung điểm của MB suy ra = IM = MB (1)
+) Xét tam giác MEB vuông tại E có là đường trung tuyến
⇒ IE = 1/2 (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)
+) Xét tam giác MDB vuông tại D có là đường trung tuyến
⇒ ID = MB (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ IM = IE = IB = = MB
Hay tứ giác MEBD nội tiếp. (đpcm)
b) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh 
.
Chứng minh:
Ta có:
Góc MFC = góc MFA = ° ( là hình chiếu vuông góc của M trên AC)
+) Gọi S là trung điểm của MC suy ra = SC = MC (4)
+) Xét tam giác MDC vuông tại D có là đường trung tuyến
⇒ SD = {{1/2}MC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (5)
+) Xét tam giác MFC vuông tại F có là đường trung tuyến
⇒ SF = MC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (6)
Từ (4), (5), (6) ⇒ SM = SD = = SF = MC
Hay tứ giác MDFC nội tiếp.
⇒ góc FDC = góc (hai góc nội tiếp cùng nhìn cạnh FC) (7)
+) Lại có tứ giác MEBD nội tiếp (cmt)
⇒ góc BDE = góc (hai góc nội tiếp cùng nhìn cạnh EB) (8)
+) Tứ giác ABMC nội tiếp (O) nên góc ABM + góc ACM = ° (hai góc đối nhau)
Mà góc ABM + góc = 180° (hai góc kề bù)
⇒ góc ACM = góc
+) Xét ∆MCF và ∆MBE có:
góc MEB = góc MFC = °
góc = góc FCM (cmt)
⇒ ∆MCF ∾ ∆MBE (g.g)
⇒ góc BME = góc (9)
Từ (7), (8) và (9) suy ra góc BDE = góc FDC
Khi đó: góc EDF = góc BDE + góc BDF = góc + góc BDF = góc BDC = °
⇒ ba điểm E, , F thẳng hàng.
Lại có: góc DFM = góc DCM (hai góc nội tiếp cùng nhìn cạnh )
⇒ góc EFM = góc DFM = góc DCM = góc BCM. (đpcm)
c) Trên AM lấy điểm N sao cho MB = MN, gọi P là giao điểm của MF và CD. Chứng minh nếu M, D, N thẳng hàng thì MN = MP và tính diện tích tứ giác BMPN, cho biết MD = 3 cm và góc MBN có số đo 67,5°.
Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó cho biết các nội dung nào dưới đây nằm trong bài chứng minh trên?
| c/m ∆MDB ∾ ∆MFA | |
| c/m ∆MBP cân tại M | |
| c/m ∆MEB ∾ ∆MFC | |
| c/m ∆BMD vuông cân tại D | |
| Tính NP và NB | |
| c/m ∆MBN = ∆NMP | |
| Tính S∆MBN |
Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn làm từng bước dưới đây của TAK12 nhé!
c) Ở câu trước, em đã biết cách chứng minh nếu M, D, N thẳng hàng thì MN = MP và tính diện tích tứ giác BMPN. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:
(Kết quả viết dưới dạng số thập phân nếu số không nguyên)
Phần 1: Chứng minh MN = MP
+) Xét ∆MDB và ∆MFA có:
góc MDB = góc MFA = °
góc MBD = góc (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn cung CM)
⇒ ∆MDB ∾ ∆ (g.g)
⇒ góc BMD = góc (hai góc tương ứng) (*)
+) Theo đề bài, 3 điểm M, D, N thẳng hàng
Mà M, N, A thẳng hàng (theo cách dựng)
⇒ M, D, thẳng hàng (**)
Từ (*) và (**) suy ra MD là tia phân giác của góc .
+) Xét ∆MBP có MD vừa là đường cao (gt), vừa là đường phân giác (cmt)
⇒ ∆MBP cân tại
⇒ MB = , mà MB = MN (gt)
⇒ MN = MP.
Phần 2: Tính diện tích tứ giác BMPN
+) Ta có ∆MBN cân tại (MN = MB)
⇒ góc BNM = góc = °
⇒ góc BMN = 180° - góc BNM - góc = °
+) Tam giác BMD vuông tại D có góc BMD = °
⇒ ∆BMD vuông cân tại D
⇒ BD = MD = (cm) và góc MBD = °
⇒ góc NBD = góc NBM - góc MBD = °
+) Xét ∆BND vuông tại D có:
⇒ MN = + ND = + 
= 
(cm)
+) S∆MBN = . BD . MN = 
(cm2)
+) Xét ∆MBN và ∆NMP có:
MB = (cmt)
góc BMN = góc NMP
là cạnh chung
⇒ ∆MBN = ∆MPN (c.g.c)
⇒ S∆MBN = S∆NMP
⇒ SBMPN = S∆MBN = 
(cm2)
Vậy diện tích tứ giác BMPN là (cm2).
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh:
Ta có: góc AEH = góc ADH = ° (CE, BD là đường cao của ∆ABC)
+) Gọi I là trung điểm của AH suy ra = IA = AH (1)
+) Xét ∆AEH vuông tại E có là đường trung tuyến
⇒ IE = 1/2 (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)
+) Xét ∆AHD vuông tại D có là đường trung tuyến
⇒ ID = AH (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ IA = IE = IH = = AH
Hay tứ giác AEHD nội tiếp. (đpcm)
b) Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt đường tròn đường kính AH tại điểm thứ hai là K. Chứng minh rằng MD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH và MC2 = MK . MA.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Phần 1: Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH
+) Tam giác ABC có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H
⇒ H là của tam giác ABC
⇒ AH ⊥ BC
° (1)
+) Tam giác AID cân tại (ID = IA (cmt))
+) Tam giác BDC vuông tại có DM là đường trung tuyến
⇒ DM = MC = BC
⇒ ∆DMC cân tại
Từ (1), (2) và (3) suy ra 
°
°
⇒ DM ⊥ ; D ∈ (I)
⇒ MD là tiếp tuyến của đường tròn (I). (đpcm)
Phần 2: Chứng minh MC2 = MK . MA
+) Ta có ID = IK (hai bán kính của (I))
⇒ ∆IDK cân tại
+) Lại có 
(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung )
⇒ góc DAK = ° - góc IDK = góc IDM - góc IDK = góc
+) Xét ∆MDK và ∆MDA có:
chung
⇒ ∆MDK ∾ ∆ (g.g)
⇒ MD2 = MA . , mà MD = MC (cmt)
⇒ MC2 = MA . MK. (đpcm)
c) Gọi N là trung điểm của DE, AN cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh CB là tia phân giác của góc KCF.
Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước làm dưới đây theo trình tự phù hợp:
|
Bước 1 |
|
| Bước 2 |
|
| Bước 3 |
|
Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn làm từng bước dưới đây của TAK12 nhé!
c) Ở câu trước, em đã biết cách chứng minh CB là tia phân giác của góc KCF. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:
Bước 1: Chứng minh ∆AED ∾ ∆ACB.
+) Xét ∆AED và ∆ACB có:
chung
⇒ ∆AED ∾ ∆ (c.g.c)
⇒ góc AED = góc và 
Bước 2: Chứng minh 
.
Do N, M lần lượt là trung điểm của và nên 
.
+) Xét ∆AEN và ∆ACM có:
góc AED = góc
⇒ ∆AEN ∾ ∆ (c.g.c)
Bước 3: Chứng minh 
. Từ đó suy ra CB là tia phân giác của góc KCF.
+) Ta có MC2 = MA . MK
+) Xét ∆MCK và ∆AMC có:
chung
⇒ ∆MCK ∾ ∆ (c.g.c)
+) Mặt khác góc BAF = góc (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn cung BF) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra góc = góc BCF
⇒ CB là tia phân giác của góc KCF. (đpcm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên cùng một phía của đường thẳng AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. Gọi I là trung điểm của AO. Lấy hai điểm P, Q nằm trên Ax, By sao cho 
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên PQ.
a) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh tứ giác APHI nội tiếp một đường tròn.
(Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b nếu số không nguyên)
Chứng minh:
Gọi S là trung điểm của PI.
+) Vì Ax là tiếp tuyến của (O) nên Ax ⊥ OA hay Ax ⊥ AI
⇒ ∆PAI vuông tại , có S là trung điểm của PI
⇒ SA = = SI = PI (1)
+) Vì H là hình chiếu của I lên PQ nên PH ⊥
⇒ ∆PHI vuông tại , có S là trung điểm của PI
⇒ SP = = SI = PI (2)
Từ (1) và (2) suy ra SA = = SH = SP = PI
⇒ 4 điểm A, P, H, I cùng thuộc đường tròn tâm đường kính hay tứ giác APHI nội tiếp trong một đường tròn. (đpcm)
b) Hãy hoàn thành bài chứng minh AH ⊥ HB dưới đây:
(Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b nếu số không nguyên)
Chứng minh:
+) Gọi T là trung điểm của IQ.
Vì By là tiếp tuyến của (O) nên By ⊥ OB
⇒ ∆IBQ vuông tại ,có T là trung điểm của IQ
⇒ TB = = TQ = IQ (3)
Lại có ∆IHQ vuông tại (do IH ⊥ PQ), có T là trung điểm của IQ
⇒ TH = = TI = IQ (4)
Từ (3) và (4) suy ra TI = = TQ = TB = IQ
⇒ 4 điểm I, H, Q, B cùng thuộc đường tròn tâm đường kính hay tứ giác IHQB nội tiếp.
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).
+) Lại có tứ giác APHI nội tiếp (cmt)
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).
+) Xét ∆AHB và ∆PIQ có:
⇒ ∆AHB ∾ ∆ (g.g)
(hai góc tương ứng)
Mà góc PIQ = ° (gt)
⇒ góc AHB = ° ⇒ AH ⊥ HB. (đpcm)
c) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AH với PI và BH với IQ. Hãy hoàn thành bài chứng minh MN // AB dưới đây.
(Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b nếu số không nguyên)
Chứng minh:
Ta có góc AHB = °, AB là đường kính ⇒ H ∈ (O).
+) Gọi R là trung điểm của MN.
∆MHN vuông tại , có R là trung điểm của MN
⇒ RH = = RN (5)
∆IMN vuông tại , có R là trung điểm của MN
⇒ RM = = RN (6)
Từ (5) và (6) suy ra RI = = RH = RM
⇒ 4 điểm I, M, , N cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác IMHN nội tiếp.
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Mà góc HIM = góc (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HP)
⇒ góc HNM = góc .
Lại có 
(cùng phụ với 
)
Mà hai góc trên ở vị trí
⇒ MN // AB. (đpcm)
d) Xác định vị trí các điểm P, Q trên Ax, By sao cho diện tích tam giác IPQ nhỏ nhất.
Trả lời: Diện tích tam giác IPQ đạt giá trị nhỏ nhất là R2 khi và chỉ khi: AP = , BQ = .
Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho AC < BC (C khác A). Vẽ CH vuông góc với AB (H ∈ AB ). Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA.
a) Tính AC. Biết AB = 4 cm, AH = 1 cm.
Trả lời: AC = cm.
b) Gọi E là hình chiếu của D trên AB. Hãy hoàn thành bài chứng minh BECD là tứ giác nội tiếp và CB.HE = CH.CD. (Không sử dụng số đo của các đoạn thẳng theo ý a)
Phần 1: Chứng minh BECD là tứ giác nội tiếp.
Gọi S là trung điểm của BD.
+) Ta có 
° (hai góc kề bù)
Mà 
(cmt)
°
Xét ∆BCD vuông tại , có S là trung điểm của BD
⇒ 3 điểm B, D, cùng thuộc đường tròn (S) đường kính BD (1)
+) Do E là hình chiếu của D trên AB nên ⊥ AB tại E.
Xét ∆BED vuông tại , có S là trung điểm của BD
⇒ 3 điểm B, E, cùng thuộc đường tròn (S) đường kính BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm , E, C, D cùng thuộc một đường tròn hay BECD là tứ giác nội tiếp. (đpcm)
Phần 2: Chứng minh CB.HE = CH.CD
Ta có ED ⊥ AB (cmt), CH ⊥ AB (gt)
⇒ // CH
(hai góc
Mà 
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Xét ∆HCE và ∆CBD có:
°
⇒ ∆HCE ∾ ∆ (g.g)
⇒ CH.CD = .HE (đpcm).
c) Gọi I là giao điểm của DE và BC, K là điểm đối xứng của I qua C, tiếp tuyến của (O) tại C cắt KA tại M. Chứng minh KA là tiếp tuyến của (O) và BM đi qua trung điểm của CH.
Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó trả lời các câu hỏi dưới đây:
Phần 1: Chứng minh KA là tiếp tuyến của (O)
Các nội dung nào nằm trong phần c/m KA là tiếp tuyến của (O)?
| c/m ∆CKA = ∆CID | |
| c/m AK // DE | |
| c/m DE ⊥ AB |
Phần 2: Chứng minh BM đi qua trung điểm của CH
Gọi P là giao điểm của BM và CH. Các nội dung nào nằm trong phần c/m BM đi qua trung điểm của CH?
| c/m AK = AE | |
| c/m MK = MA | |
| c/m ∆BPC ∾ ∆BMK | |
| c/m ∆BCE ∾ ∆BMC | |
| c/m PC = PH |
Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.
c) Ở câu trước, em đã biết cách để chứng minh KA là tiếp tuyến của (O) và BM đi qua trung điểm của CH. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:
Chứng minh:
Phần 1: Chứng minh KA là tiếp tuyến của (O)
Xét ∆CKA và ∆CID có:
= CI (K đối xứng với I qua C)
= CD (gt)
(hai góc đối đỉnh)
⇒ ∆CKA = ∆ (c.g.c)
Mà hai góc trên ở vị trí
⇒ AK // DE
Mà DE ⊥ AB
⇒ ⊥ AB tại A thuộc (O)
⇒ là tiếp tuyến của (O). (đpcm)
Phần 2: Chứng minh BM đi qua trung điểm của CH
Bước 2.1: Chứng minh MK = MA
Gọi P là giao điểm của BM và CH.
+) Ta có MC và KA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại
⇒ MC = (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (3)
⇒ ∆MAC cân tại
(tính chất tam giác cân)
Mặt khác:
° (∆KAC vuông tại C)
⇒ ∆MKC cân tại
⇒ MC = (4)
Từ (3) và (4) suy ra MK = MA
Bước 2.2: Chứng minh PC = PH, từ đó suy ra BM đi qua trung điểm của CH
+) Ta có AK // DE; CH // DE ⇒ AK //
Xét ∆BPC và ∆BMK có:
(hai góc đồng vị)
là góc chung
⇒ ∆BPC ∾ ∆ (g.g)
(5)
Xét ∆BPH và ∆BMA có:
(hai góc đồng vị)
là góc chung
⇒ ∆BPH ∾ ∆ (g.g)
(6)
Từ (5) và (6) suy ra 
Mà MA = MK (cmt)
⇒ PC =
⇒ P là trung điểm của
Chứng tỏ BM đi qua trung điểm P của CH. (đpcm)
c) Ở câu trước, em đã biết cách để chứng minh KA là tiếp tuyến của (O) và BM đi qua trung điểm của CH. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:
Chứng minh:
Phần 1: Chứng minh KA là tiếp tuyến của (O)
Xét ∆CKA và ∆CID có:
= CI (K đối xứng với I qua C)
= CD (gt)
(hai góc đối đỉnh)
⇒ ∆CKA = ∆ (c.g.c)
Mà hai góc trên ở vị trí
⇒ AK // DE
Mà DE ⊥ AB
⇒ ⊥ AB tại A thuộc (O)
⇒ là tiếp tuyến của (O). (đpcm)
Phần 2: Chứng minh BM đi qua trung điểm của CH
Bước 2.1: Chứng minh MK = MA
Gọi P là giao điểm của BM và CH.
+) Ta có MC và KA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại
⇒ MC = (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (3)
⇒ ∆MAC cân tại
(tính chất tam giác cân)
Mặt khác:
° (∆KAC vuông tại C)
⇒ ∆MKC cân tại
⇒ MC = (4)
Từ (3) và (4) suy ra MK = MA
Bước 2.2: Chứng minh PC = PH, từ đó suy ra BM đi qua trung điểm của CH
+) Ta có AK // DE; CH // DE ⇒ AK //
Xét ∆BPC và ∆BMK có:
(hai góc đồng vị)
là góc chung
⇒ ∆BPC ∾ ∆ (g.g)
(5)
Xét ∆BPH và ∆BMA có:
(hai góc đồng vị)
là góc chung
⇒ ∆BPH ∾ ∆ (g.g)
(6)
Từ (5) và (6) suy ra
Mà MA = MK (cmt)
⇒ PC =
⇒ P là trung điểm của
Chứng tỏ BM đi qua trung điểm P của CH. (đpcm)
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) tại tiếp điểm A, B. Một đường thẳng d đi qua M cắt (O) tại C, D (MC < MD và tia MC nằm giữa hai tia MA, MO). I là trung điểm của đoạn thẳng CD.
a) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh bốn điểm O, B, M, A cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh:
Gọi E là trung điểm của OM.
Ta có: MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên ⊥ AO tại A; ⊥ BO tại B.
⇒ ∆OMA vuông tại A và ∆OMB vuông tại B
Xét ∆OMA vuông tại A, có E là trung điểm của OM
⇒ 3 điểm O, M, cùng thuộc đường tròn đường kính OM (1)
Xét ∆OMB vuông tại B, có E là trung điểm của OM
⇒ 3 điểm O, M, cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm O, B, M, A cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
b) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh ID.MD = OD.BD.
Chứng minh:
Ta có: là trung điểm của CD
⇒ là đường trung tuyến ứng với cạnh CD của ∆OCD
Mà ∆OCD cân tại O (do OD = = R)
⇒ cũng là đường cao của ∆OCD
⇒ ⊥ CD.
Xét ∆OID và ∆BDM có:
°
chung
⇒ ∆OID ∾ ∆ (g.g)
⇒ ID.MD = OD.BD (đpcm).
c) Cho BI cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh AE // CD.
Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước giải dưới đây theo trình tự phù hợp:
Bước 1:
Bước 2:
Bước 3:
Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.
c) Ở câu trước, em đã biết trình tự các bước để chứng minh AE // CD, tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:
Bước 1: Chứng minh 
Bước 1.1: Chứng minh ∆ABD vuông tại A, từ đó suy ra 
Xét (O), ta có:
là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
⇒ = °
⇒ ∆ABD vuông tại A
⇒ (1)
Bước 1.2: Chứng minh ∆BHO vuông tại H, từ đó suy ra 
Gọi H là giao điểm của AB và MO.
Ta có: MA và là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại .
⇒ là tia phân giác của 
Xét ∆OAB cân tại (do OA = OB = R) có:
OH là đường phân giác
⇒ OH đồng thời cũng là đường cao
⇒ OH ⊥ hay ∆BHO vuông tại H
⇒ (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Bước 2: Chứng minh 
và 
.
Bước 2.1: Chứng minh tứ giác MIOB nội tiếp, từ đó suy ra
Ta có:
+) ∆MIO vuông tại I nên nó nội tiếp đường tròn đường kính
+) ∆MBO vuông tại B nên nó nội tiếp đường tròn đường kính
Do đó, 4 điểm M, I, O, B cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác MIOB nội tiếp
⇒ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Bước 2.2: Chứng minh
Xét (O) có 
và 
là hai góc nội tiếp cùng chắn cung
⇒
Bước 3: Chứng minh 
, từ đó suy ra AE // CD.
Ta có (cmt)
Lại có 
⇒
Mà hai góc trên ở vị trí
⇒ AE // CD (đpcm).
Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BF, CE của ∆ABC cắt nhau tại H. Kéo dài AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Kéo dài KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I. Gọi N là giao điểm của CI và EF.
a) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh tứ giác BEHD nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh:
Gọi Q là trung điểm của BH.
+) Do AD, CE là các đường cao của tam giác ABC nên:
= °
⇒ ∆BEH vuông tại và ∆BDH vuông tại
+) Xét ∆BEH vuông tại , có Q là trung điểm của BH
⇒ 3 điểm B, E, cùng thuộc đường tròn đường kính BH (1)
+) Xét ∆BDH vuông tại , có Q là trung điểm của BH
⇒ 3 điểm D, H, cùng thuộc đường tròn đường kính BH (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, D, H, cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác BEHD nội tiếp (đpcm).
b) Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh CE2 = CN. CI.
Do BF, CE là các đường cao của tam giác ABC nên:
= °
⇒ ∆AEH vuông tại và ∆AFH vuông tại
⇒ ∆AEH và ∆AFH cùng nội tiếp đường tròn đường kính
⇒ 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác AEHF nội tiếp.
⇒ 
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
mà 
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
⇒ 
hay 
Xét ∆CEN và ∆CEI có:
là góc chung
⇒ ∆CEN = ∆ (g.g)
(đpcm).
c) Kẻ OM vuông góc với BC tại M. Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó trả lời câu hỏi dưới đây:
Những nội dung nào nằm trong bài chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng?
| c/m PM là đường trung trực của EF | |
| c/m NE = NF | |
| c/m ∆EHK = ∆NFC | |
| Tính PE và PF | |
| c/m ME = MF |
Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.
c) Ở câu trước, em đã biết các bước để chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng, tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:
Chứng minh:
Bước 1: Chứng minh PM là đường trung trực của EF
+) Ta có PE = (do P là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AEF)
⇒ P thuộc đường trung trực của EF
+) ∆OBC cân tại (do OB = OC = R) có OM là đường cao
⇒ OM cũng là đường trung tuyến
⇒ là trung điểm của BC.
+) ∆BEC vuông tại E có là đường trung tuyến ứng với BC
⇒ ME = MB = (1)
+) ∆BFC vuông tại F có là đường trung tuyến ứng với BC
⇒ = MB = MC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ME = MF hay M thuộc đường trung trực của
Do đó, là đường trung trực của EF. (*)
Bước 2: Chứng minh N cũng thuộc đường trung trực của EF (NE = NF), từ đó suy ra M, N, P thẳng hàng.
Bước 2.1: Tính NE và NF
Theo ý b) ta có:
+) ∆CEN ∾ ∆CIE
+) Tứ giác AEHF nội tiếp
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
+) Xét ∆KHE và ∆CFN có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
⇒ ∆KHE ∾ ∆CFN (g.g)
Bước 2.2: Chứng minh NE/NF = 1 (hay NE = NF)
Khi đó ta có:
+) Xét ∆IEA và ∆BEK có:
(hai góc đối đỉnh)
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
⇒ ∆IEA ∾ ∆ (g.g)
⇒ IE. = .EA (4)
+) Xét ∆AEH và ∆BEC có:
(cùng phụ với 
)
= °
⇒ ∆AEH∾ ∆ (g.g)
⇒ AE. = .EH (5)
Thay (4) và (5) vào (3) ta được:
⇒ N thuộc đường trung trực của (**)
Từ (*) và (**) suy ra M, N, P thẳng hàng (đpcm).