Đề khảo sát chất lượng vào 10 môn Toán phòng GD&ĐT Nam Từ Liêm – Hà Nội (lần 2) năm 2025

Thời gian đi từ nhà đến trường (đơn vị: phút) của 16 bạn học sinh được ghi lại ở bảng sau:

a) Thời gian đi từ nhà đến trường (đơn vị: phút) của các bạn học sinh nhận những giá trị nào? Lập bảng tần số của mẫu số liệu thống kê trên.

Đáp án: 

Thời gian đi từ nhà đến trường sắp xếp từ bé đến lớn (đơn vị: phút) của 16 bạn học sinh nhận những giá trị là: 1.1; 1.2; 1.3; 1.4; 1.5.

Bảng tần số:

b) Từ bảng tần số, hãy cho biết trong 16 học sinh trên, có bao nhiêu học sinh dành thời gian để đi đến trường nhiều hơn 10 phút?

Đáp án: Có học sinh dành thời gian để đi đến trường nhiều hơn 10 phút.

Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số nguyên dương nhỏ hơn 21, hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Bạn Mai Nhung lấy ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp và ghi lại số thẻ lấy ra. Tính xác suất của biến cố A: "Số trên ghi thẻ được lấy ra là bội của 5".

Đáp án: Xác suất của biến cố A là . (Học sinh viết dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho hai biểu thức với .

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 4.

Đáp án: A = .

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Xét biểu thức P = A.B. Tìm tất cả các giá trị của x để .

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Cô Khánh Linh đi đến một cửa hàng điện máy để mua một chiếc điều hòa và một chiếc tủ lạnh. Nhân dịp giỗ tổ Hùng Vương, cửa hàng đã giảm giá bán của điều hòa là 20% và giảm giá bán của tủ lạnh là 10% so với giá ban đầu. Vì thế, cô Khánh Linh đã trả cho cửa hàng tổng số tiền là 25 triệu đồng. Biết rằng, tổng số tiền của một chiếc điều hòa và một chiếc tủ lạnh khi chưa giảm giá là 30 triệu đồng. Hỏi giá của một chiếc điều hòa và một chiếc tủ lạnh khi chưa được giảm là bao nhiêu?

Đáp án: Giá của một chiếc điều hòa và một chiếc tủ lạnh khi chưa được giảm lần lượt là 7.1 triệu đồng và 7.2 triệu đồng.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một xe máy và một ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường dài 120 km từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc của mỗi xe không đổi. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h và ô tô đến Hải Phòng trước xe máy 36 phút. Tính vận tốc của xe máy.

Đáp án: Vận tốc của xe máy là km/h.

Biết rằng phương trình bậc hai (với m là tham số) có một nghiệm là . Tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Đáp án: Tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình trên là .

Một thùng đựng nước có dạng hình trụ với chiều cao là 40 cm và bán kính đáy là 15 cm.

a) Tính thể tích của thùng đựng nước (lấy ).

Đáp án: Thể tích của thùng đựng nước là cm³.

b) Bạn Minh Trí sử dụng thùng trên để múc nước đổ vào một bồn chứa có dạng hình trụ với chiều cao là 150 cm và bán kính đáy là 60 cm. Tính số thùng nước bạn Minh Trí cần phải múc để đổ đầy bồn chứa (giả thiết rằng lúc đầu bồn không có nước và trong mỗi lần múc, thùng đều được múc đầy nước và đều được đổ hết vào bồn).

Đáp án: Bạn Minh Trí cần phải múc thùng nước để đổ đầy bồn chứa.

Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H .

a) Chứng minh bốn điểm A , B , D , E cùng thuộc một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên  tại D

Suy ra vuông tại D

Suy ra ba điểm  A, B, D cùng nằm trên đường tròn đường kính 12.1   (1)

+) Vì BE là đường cao của tam giác ABC nên  tại E

Suy ra vuông tại E

Suy ra ba điểm  A, B, E cùng nằm trên đường tròn đường kính 12.2   (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm A, B, D, E cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).

b) Tia BH cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh DA là phân giác của và EH = EK.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

b.1) Chứng minh DA là phân giác của

+) Chứng minh tương tự phần a, ta được: vuông tại D, suy ra ba điểm C, A, D cùng nằm trên đường tròn đường kính 13.1

Lại có vuông tại F, suy ra ba điểm C, A, F cùng nằm trên đường tròn đường kính 13.2

Suy ra bốn điểm C, D, F, A cùng nằm trên đường tròn đường kính 13.3 hay tứ giác CDFA nội tiếp.

Do đó (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.4)   (3)

+) Lại có tứ giác ABDE nội tiếp (do bốn điểm A, B, D, E cùng nằm trên một đường tròn) nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.5)   (4)

Mà (cùng phụ với )   (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra:

Do đó DA là tia phân giác của (đpcm).

b.2) Chứng minh EH = EK

+) Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.6)

Mặt khác: (cùng phụ với ) nên hay

Suy ra cân tại A

Mà tại E (giả thiết) nên E là trung điểm của HK

Do đó EH = EK (đpcm).

c) Tia KD cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng AI cắt đường thẳng DF tại điểm M. Chứng minh HD.FA = HE.FD và M là trung điểm của DF.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

c.1) Chứng minh HD FA = HE.FD

+) Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 14.1) hay

Mặt khác, DA là tia phân giác của (từ phần b) nên

+) Xét và có:

(cmt)

(cmt)

14.2 (g.g)

(đpcm)   (6)

c.2) Chứng minh M là trung điểm của DF

+) Lại có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 14.3) hay

Mặt khác, 14.4 (cmt) nên (hai góc tương ứng) hay

+) Xét và  có:

(cmt)

(cmt)

14.5 (g.g)

(7)

+) Lại có E là trung điểm HK nên HK = 2HE. Thay vào (7) ta được:

HD.FA = 2HE. FM hay HD.FA = HE.2FM   (8)

Từ (6) và (8) suy ra: HE.FD = HE.2FM

Suy ra FD = 2FM, do đó M là trung điểm của DF (đpcm).

Một mảnh vườn hình chữ nhật ABCD có chiều rộng AB = 23 mét và chiều dài AD = 34 mét. Cô Ngọc Hà buộc hai con dê ở hai góc vườn A và B. Biết rằng số mét dài của mỗi sợi dây buộc là số nguyên và tổng chiều dài hai sợi dây buộc đúng bằng chiều dài cạnh AB. Hỏi chiều dài mỗi sợi dây buộc dê bằng bao nhiêu mét thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được là lớn nhất?