Đề khảo sát chất lượng vào 10 môn Toán phòng GD&ĐT Hoàn Kiếm – Hà Nội năm 2025

7/17/2022 7:58:00 AM

Kết quả khảo sát về mùa yêu thích trong năm của 80 người được thống kê trong bảng sau:

a) Có bao nhiêu người lựa chọn mùa hạ?

Đáp án: Có người chọn mùa hạ.

b) Số người lựa chọn mùa thu chiếm bao nhiêu phần trăm so với tổng số người được khảo sát?

Đáp án: Số người lựa chọn mùa thu chiếm % tổng số người được khảo sát.

Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có một chữ số. Tính xác suất của biến cố “Số tự nhiên được viết ra là số nguyên tố”.

Đáp án: Xác suất của biến cố “Số tự nhiên được viết ra là số nguyên tố” là . (Học sinh viết dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho hai biểu thức với .

1) Tính giá trị biểu thức A tại x = 25.

Đáp án: A = . (Học sinh viết dưới dạng phân số tối giản a/b)

2) Rút gọn B.

3) Đặt P = A. B. Tìm x để .

  •  

Gia đình bác Minh đi du lịch Đà Nẵng và Huế trong 7 ngày. Biết rằng chi phí trung bình mỗi ngày tại Đà Nẵng là 1 800 000 đồng và mỗi ngày tại Huế là 1 500 000 đồng. Tìm số ngày nghỉ của gia đình bác Minh tại mỗi địa điểm, biết tổng số tiền phải chi là 12 000 000 đồng.

Trả lời: Gia đình bác Minh nghỉ tại Đà Nẵng ngày và tại Huế ngày.

Để làm đầy một bể nước rỗng, vòi I cần nhiều hơn 10 phút so với vòi II. Nếu cả hai vòi cùng được mở, sau 12 phút, bễ rỗng sẽ chứa đầy nước. Hỏi mỗi vòi chảy riêng sẽ cần bao nhiêu phút để làm đầy bể?

Đáp án: Vòi I chảy riêng hết phút và vòi II chảy riêng hết phút thì đầy bể.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = x2 có đồ thị đi qua hai điểm A(2; a) và B(b; 3b + a). Tìm a và b, biết điểm B nằm bên phải trục tung.

Đáp án: a = , b = .

Một bể nước ngầm có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước đáy 2,5 m × 1,2 m và chiều cao 1 m. Cột nước hiện có trong bể cao 20 cm.

a) Tính thể tích nước hiện có trong bể.

Đáp án: V = dm3.

b) Người ta sử dụng máy bơm nước vào bể với lưu lượng 5 mét khối mỗi giờ. Hỏi sau 30 phút bơm thì bể đã đầy nước chưa?

  • Sau 30 phút bơm thì bể đã đầy nước.
  • Sau 30 phút bơm thì bể chưa đầy nước.

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho CA < CB và điểm D thuộc đoạn OA (D khác O, A). Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt các tiếp tuyến của (O) tại A và B lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh bốn điểm A, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) EA là tiếp tuyến của (O) nên , suy ra vuông tại A

Do đó ba điểm A, E, D cùng nằm trên đường tròn đường kính     (1)

+) , suy ra vuông tại C

Do đó ba điểm E, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính    (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm A, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).

b) Chứng minh và tam giác DEF là tam giác vuông.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

b.1) Chứng minh

+) FB là tiếp tuyến của (O) nên , suy ra vuông tại B

Do đó ba điểm B, F, D cùng nằm trên đường tròn đường kính    (3)

+) , suy ra vuông tại C

Do đó ba điểm F, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính    (4)

Từ (3) và (4) suy ra bốn điểm B, D, C, F cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác BDCF nội tiếp.

Suy ra (hai góc nội tiếp chắn cung ). (đpcm)

b.2) Chứng minh tam giác DEF là tam giác vuông

+) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra:     (5)

Từ phần a, suy ra tứ giác AECD nội tiếp, do đó: (hai góc nội tiếp chắn cung )   (6)

Tứ giác BDCF nội tiếp nên (hai góc nội tiếp chắn cung )   (7)

Từ (5), (6) và (7) suy ra:

Suy ra hay tam giác DEF vuông tại D. (đpcm)

c) AC cắt DE tại M, BC cắt DF tại N. Lấy P, Q lần lượt là trung điểm của DE, DF. Chứng minh MN, PQ, CO đồng quy.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Từ phần b, ta có: hay , suy ra vuông tại D

Do đó: ba điểm M, D, N nằm trên đường tròn đường kính

Lại có: (từ phần b), nên vuông tại C

Do đó: ba điểm M, C, N nằm trên đường tròn đường kính

Suy ra: bốn điểm M, C, N, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác MCND nội tiếp.

Suy ra: (góc nội tiếp chắn cung )   (8)

+) Lại có: tứ giác BDCF nội tiếp nên (góc nội tiếp chắn cung )   (9)

Mặt khác: (cùng phụ với )   (10)

Từ (8), (9) và (10) suy ra: , mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra: MN // AB

+) Gọi I là giao điểm của MN và OC

Áp dụng hệ quả định lý Thales ta có:

, mà OA = OB nên IM =

Suy ra: là trung điểm của MN

+) Xét có nên vuông tại C, có CP là đường trung tuyến nên CP = PE = PD

Do đó: P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng    (11)

Chứng minh tương tự, ta được:

+) vuông tại C, có CQ là đường trung tuyến nên CQ = DQ = DF

Do đó: Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng   (12)

+) vuông tại C, có CI là đường trung tuyến nên CI = MI = NI

+) vuông tại D, có DI là đường trung tuyến nên DI = MI = NI = CI

Suy ra: I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng   (13)

Từ (11), (12) và (13) suy ra: P, I, Q cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD hay P, I, Q thẳng hàng.

Suy ra: MN, PQ, CO đồng quy (đpcm).

Một xưởng nội thất dự trù 216 nghìn đồng để sản xuất ngăn kéo chứa đồ cho một chiếc giường. Ngăn kéo gồm hai khoang có dạng hình chữ nhật với kích thước bằng nhau, trong đó vật liệu làm hai thanh AB, CD có đơn giá 45 nghìn đồng/mét và vật liệu làm ba thanh AD, BC, MN có đơn giá 80 nghìn đồng/mét. Tìm độ dài hai đoạn AB và AD để diện tích chứa đồ là lớn nhất, coi độ dày của các thanh gỗ là không đáng kể.

Đáp án: AB = m, AD = cm.