Đề thi học bổng vào 10 môn Toán trường PTLC Alpha - Hà Nội - Đợt 1

Trong một buổi sinh hoạt câu lạc bộ thể thao của một trường THCS. Mỗi bạn chọn đúng một loại nước giải khát để sử dụng trong buổi tập trung đầu tiên. Bảng thống kê dưới đây cho biết số học sinh chọn từng loại nước giải khát như sau:

Điền vào bảng sau để hoàn thiện bảng tần số tương đối theo từng loại nước giải khát. 

Trả lời:

Vào dịp cuối tuần, hai bạn An và Bình rủ nhau vào trung tâm thương mại để chơi trò chơi ném phi tiêu.

Cách tính điểm cho mỗi lần ném như sau:

- Hồng tâm (Bull's eye): 50 điểm

- Rìa hồng tâm (Bull): 25 điểm

- Vòng nhân đôi (Double ring): Nhân đôi số điểm (2 lần con số của cung tròn)

- Vòng nhân ba (Triple ring): Nhân ba số điểm (3 lần con số của cung tròn)

- Phần ngoài vòng nhân ba (phần màu vàng và màu đen): 0 điểm

a) Bạn An ném ba lần với kết quả như sau: lần 1 vào vòng Triple ring ứng với 4 điểm, lần 2 vào vòng Triple ring ứng với 12 điểm, lần 3 vào vòng Bull. Bạn Bình ném ba lần với kết quả như sau: lần 1 vào vòng Triple ring ứng với 9 điểm, lần 2 vào vòng Double ring ứng với 7 điểm, lần 3 vào vòng Bull. Hỏi sau 3 lần ném, bạn nào có số điểm nhiều hơn?

Trả lời: Bạn BìnhAn có điểm cao hơn.

b) Tính xác suất biến cố A: "Bạn An có thể ném phi tiêu vào vòng Double ring sau 1 lần ném". Giả sử không có trường hợp ném ra phần ngoài vòng nhân ba và các kết quả có thể là đồng khả năng xảy ra.

Trả lời: P(A) = (Kết quả để dưới dạng phân số tối giản a/b).

Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức A được kết quả là 

b) Tính giá trị của biểu thức khi .

Trả lời: A = . (Kết quả để dưới dạng phân số tối giản a/b)

c) Tìm các giá trị của x để A đạt giá trị nguyên nhỏ nhất.

Trả lời: x = . (Kết quả để dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho một khóa số, có 5 vòng số, mỗi vòng có 10 chữ số từ 0 đến 9 được xếp thứ tự như hình bên. Trên ổ khóa có 01 vị trí được đánh dấu mũi tên cho biết 5 chữ số hiện hành của ổ khóa, muốn mở khóa chúng ta xoay các vòng lên hay xuống từng nấc để thay đổi số hiện hành sao cho trùng với mật khẩu đã cho trước, đúng thứ tự từ trái qua phải thì khóa sẽ mở. Giả sử 1 vòng của ổ khóa có số hiện hành là số 0: nếu xoay lên 1 nấc thì số hiện hành là số 1, ngược lại nếu xoay xuống 1 nấc thì số hiện hành là số 9.

Bạn Quân có một chiếc khóa số như vậy. Mật khẩu Quân đã cài là 0 – 2 – 9 – 0 – 8.

a) Hiện tại trên mỗi vòng các số đang hiển thị lần lượt là 7 – 6 – 1 – 3 – 5. Tính số nấc ít nhất Quân cần xoay lên và xoay xuống để mở được khóa.

Trả lời: Quân cần xoay lên ít nhất 7.1 nấc và xoay xuống ít nhất 7.2 nấc để mở được khóa.

b) Bạn của Quân cũng mở khóa từ vị trí 7 – 6 – 1 – 3 – 5 nhưng với số nấc cần xoay nhiều nhất. Tính số nấc xoay trung bình để mở được khóa, xem như nó gần với trung bình cộng của số nấc cần xoay ít nhất và nhiều nhất.

Trả lời: Số nấc cần xoay trung bình để mở được khóa là nấc.

Cô Thủy đang soạn một bài kiểm tra trắc nghiệm môn Khoa học Tự nhiên với tổng số điểm là 10 điểm, bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn (mỗi câu hỏi 0,25 điểm) và các câu hỏi trả lời ngắn (mỗi câu hỏi 0,5 điểm). Ngoài ra, cô Thủy muốn số câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn gấp ba lần số câu hỏi trả lời ngắn. Giả sử một học sinh của cô Thủy có thể trả lời một câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn trong vòng 1,5 phút và một câu hỏi trả lời ngắn trong vòng 2,5 phút thì học sinh này có thể hoàn thành bài kiểm tra trên trong bao nhiêu phút?

Trả lời: phút.

Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Trả lời: m₁ = 10.1; m₂ = 10.2.

(m₁ > m₂ và viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b nếu số không nguyên)

Bác Vân muốn làm một nhà kính trồng hoa và cây cảnh có dạng gồm nửa hình trụ ở trên và hình hộp chữ nhật ở dưới với kích thước như hình vẽ. Bác Vân dùng màng nhà kính SkyCoat nhập khẩu từ Nhật Bản để bao quanh nhà kính (kể cả phía trước và phía sau). Biết khi thi công thực tế sẽ hao phí khoảng 10% diện tích nhà kính.

a) Tính diện tích phần màng thực tế cần cho nhà kính trên. (làm tròn đến hàng đơn vị) 

Trả lời: m².

b) Tính chi phí cần có để mua màng dùng cho nhà kính trên biết rằng một cuộn màng rộng 3,2 m; chiều dài 300 m có giá 26 nghìn đồng/m². (biết đơn vị cung cấp chỉ bán theo cuộn)

Trả lời: (nghìn đồng).

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn , ba đường cao cắt nhau tại . Kẻ (). Gọi là trung điểm của , gọi là giao điểm của và . Kẻ đường kính của đường tròn .

a) Chứng minh bốn điểm B, E, F, C cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm và đường kính của đường tròn đó.

Điền vào chỗ trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Ta có: cân tại 13.1 () có:

hay OK là đường cao nên OK cũng là 13.2đường trung bìnhđường phân giácđường trung tuyến

Suy ra 13.3 là trung điểm của .

và là hai đường cao của nên và .

+) Xét vuông tại 13.4 có 13.5 là cạnh huyền

Nên ba điểm E, B, 13.6 cùng thuộc đường tròn tâm 13.7, đường kính 13.8.

+) Xét vuông tại 13.9 có 13.10 là cạnh huyền

Nên ba điểm F, 13.11, C cùng thuộc đường tròn tâm 13.12, đường kính 13.13.

Vậy bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm 13.14, đường kính 13.15. (đpcm)

b) Chứng minh: và đi qua trung điểm của .

Điền vào chỗ trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây (viết kết quả dưới dạng phân số tối giản nếu số không nguyên):

Phần 1: Chứng minh .

+) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên  vuông tại 14.1.

Suy ra 14.2 ⊥ AC mà nên 14.3 // BH.

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên vuông tại 14.4.

Suy ra 14.5 ⊥ AB mà nên 14.6 // CH.

Suy ra tứ giác là 14.7hình bình hànhhình thoihình chữ nhật

Nên 14.8 và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà 14.9 là trung điểm của nên 14.10 cũng là trung điểm của .

+) Tam giác có và lần lượt là trung điểm của 14.11 và

Suy ra 14.12 là đường trung bình của

Suy ra OK = 14.13AH hay AH = 14.14OK. (đpcm)

Phần 2: Chứng minh đi qua trung điểm của .

+) vuông tại 14.15 có FI là đường trung tuyến nên FI = 14.16AH.

vuông tại 14.17 có EI là đường trung tuyến nên EI = 14.18AH.

Suy ra nên 14.19 thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EF.

+) vuông tại E có 14.20 là đường trung tuyến nên EK = 14.21BC.

vuông tại F có 14.22 là đường trung tuyến nên FK = 14.23BC.

Suy ra nên 14.24 thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Do đó 14.25 là đường trung trực của đoạn thẳng

Hay đi qua trung điểm của . (đpcm)

c) Đường thẳng qua song song với cắt đường thẳng tại . Chứng minh: và .

Điền vào chỗ trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Phần 1: Chứng minh .

+) Gọi là giao điểm của và .

Vì nên cân tại 15.1, suy ra góc 15.2.

Vì nên cân tại 15.3, suy ra góc 15.4.

Mà 15.5° ( vuông tại ) nên 15.6°.

Lại có 15.7° nên 15.8°.

+) Xét và có:

chung

15.9°

Suy ra (g.g)

Nên hay 15.10  (1)

+) Xét và  có:

chung

Suy ra 15.11 (g.g)

Nên hay 15.12  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: . (đpcm)

Phần 2: Chứng minh .

+) Xét và  có:

()

Suy ra 15.13 (g.g)

Nên  hay 15.14  (3)

Lại có: và

Nên

Suy ra (ID + 15.15)(ID - 15.16)

15.1715.18   (4)

Từ (3) và (4) suy ra: 15.19 hay .

+) và có:

và

Suy ra 15.20(g.g)(c.g.c)(g.c.g)

góc15.21   (5)

+) Do 15.22 mà

Nên 15.23 ()

Lại có ()

Do đó (g.g)

và góc 15.24

+) và có:

và

15.25 (c.g.c)

hay góc 15.26   (6)

Từ (5) và (6) suy ra:

Mà 2 góc này ở vị trí 15.27so le trongđồng vịtrong cùng phía nên . (đpcm)

Một sợi dây dài 200 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, đoạn dây thứ hai được uốn thành hình lục giác đều. Hỏi tổng diện tích của hai hình này đạt giá trị nhỏ nhất khi cắt dây như thế nào?

Trả lời: Đoạn dây thứ nhất dài 16.1 m. Đoạn dây thứ hai dài 16.2 m.