Đề thi học bổng vào 10 môn Toán trường PTLC Alpha - Hà Nội - Đợt 2

7/18/2022 9:08:00 AM

Người ta thống kê tuổi thọ (tính theo tháng) của 400 con chuồn chuồn trưởng thành và thu được biểu đồ tần số tương đối như sau:

Biết số chuồn chuồn có tuổi thọ nằm trong nhóm [3; 4) gấp đôi số chuồn chuồn có tuổi thọ nằm trong nhóm [4; 5).

a) Tính số chuồn chuồn có tuổi thọ dưới 5 tháng.

Trả lời: con.

b) Xác định tần số tương đối của số chuồn chuồn có tuổi thọ từ 4 tháng đến dưới 5 tháng.

Trả lời: %.

Bạn Vinh và bạn Tuấn cùng nhau chơi một trò chơi. Con thần thú của bạn Vinh đang đứng ở vị trí xuất phát (như hình vẽ).

Luật chơi như sau: Để di chuyển con thần thú, người chơi được gieo một con xúc xắc tối đa ba lần. Mỗi chấm trên xúc xắc tương đương +20 m.

- Ở lần gieo thứ nhất, con thần thú sẽ di chuyển đến vạch có số tương đương với số chấm gieo được của con xúc xắc.

- Từ những lần gieo sau, nếu tổng số chấm gieo được của con xúc xắc ở lần gieo hiện tại và lần gieo trước đó lớn hơn 6 thì con thần thú sẽ đứng yên, còn nếu tổng này nhỏ hơn hoặc bằng 6 thì con thần thú được di chuyển đến vạch tương đương với tổng số chấm gieo được.

- Con thần thú này gọi là về đích nếu nó đến được vạch 100 m.

Tính xác suất để bạn Vinh về đích sau hai lần gieo xúc xắc.

Trả lời: Xác suất để bạn Vinh về đích sau hai lần gieo xúc xắc là . (Kết quả để dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức A được kết quả là

b) Cho , tìm giá trị lớn nhất của .

Trả lời: Giá trị lớn nhất của A là .

Một mảnh đất hình chữ nhật lớn được chia thành hai lô bởi hàng rào. Các đoạn AB, BC và CD song song với các cạnh hình chữ nhật và có độ dài lần lượt là 30 m, 24 m, 10 m. Hai chủ đất muốn phá hàng rào và dựng một hàng rào thẳng mới mà vẫn giữ nguyên diện tích hai lô đất. Hỏi điểm E cách D bao xa?

Trả lời: Điểm E cách D là m.

Cuối tuần Trang và Minh rủ nhau ra công viên tập thể dục. Cả hai cùng xuất phát từ một điểm bên bờ hồ có dạng hình tròn trong công viên, Trang đi xe đạp còn Minh chạy bộ phía sau. Trang hoàn thành một vòng quanh hồ trước Minh 24 phút và dừng lại ăn kem trong khi đợi Minh. Khi Minh đến chỗ đó, Trang đạp xe theo hướng ngược lại và Minh tiếp tục chạy bộ không dừng lại theo hướng cũ. Họ gặp nhau sau 5 phút. Giả sử tốc độ của cả hai không đổi, hỏi Minh mất bao lâu để hoàn thành một vòng quanh hồ?

Trả lời: Minh mất phút để hoàn thành một vòng quanh hồ.

Cho phương trình (1).
Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn .

Cáo và Cò là đôi bạn thân. Một hôm, Cò mời Cáo đến nhà chơi và thưởng thức món súp hảo hạng. Dự định ban đầu, Cò sẽ chia súp thành hai phần bằng nhau: một phần đựng trong đĩa cho Cáo, phần còn lại cho vào bình để mình dùng. Tuy nhiên, trong lúc chuẩn bị, Cò vô ý làm vỡ chiếc đĩa nên đã tạm thời đổ toàn bộ súp vào chiếc bình hình trụ của mình.

Chiếc bình có đường kính đáy 8 cm, chiều cao 30 cm. Khi toàn bộ súp được đổ vào, mực súp trong bình có độ cao 10 cm.

a) Tính thể tích của phần súp có trong bình.

Trả lời: Thể tích phần súp có trong bình là cm³.

b) Khi Cáo đến, Cò vẫn đang lúng túng chưa biết làm thế nào. Do cổ Cáo quá ngắn, nên không thể cúi xuống lấy được súp trong bình. Cáo nhìn quanh và phát hiện ra nhà Cò có những viên sỏi hình cầu giống hệt nhau, bán kính là 2 cm. Cáo bèn thả dần từng viên sỏi vào bình súp, khiến mực súp dâng lên. Khi súp dâng đúng đến miệng bình, Cáo thảnh thơi thưởng thức món súp mà không cần cúi sâu. Hỏi Cáo đã cho vào bình bao nhiêu viên sỏi?

Trả lời: viên.

Cho tam giác nhọn có , đường tròn đường kính cắt tại , cắt tại . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và , đường thẳng cắt tại , đường thẳng cắt đường tròn tại ().

a) Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.

Điền vào chỗ trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có: 11.1° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra ;

Mà BE cắt CF tại H nên 11.2 là trực tâm của

Suy ra hay .

Xét vuông tại 11.3 nên ba điểm cùng thuộc đường tròn đường kính 11.4.

Xét vuông tại 11.5 nên ba điểm cùng thuộc đường tròn đường kính 11.6.

Do đó bốn điểm cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác nội tiếp. (đpcm)

b) Chứng minh là đường phân giác của và .

Điền vào chỗ trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Phần 1: Chứng minh là đường phân giác của .

+) vuông tại 12.1 nên ba điểm cùng thuộc đường tròn đường kính 12.2

vuông tại 12.3 nên ba điểm cùng thuộc đường tròn đường kính 12.4

Do đó tứ giác 12.5 nội tiếp.

Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 12.6) hay

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 12.7)

Do đó

Suy ra là đường phân giác của . (đpcm)

+) Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 12.8)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 12.9)

Suy ra

Mà hai góc này ở vị trí 12.10

Nên AD // 12.11.

Lại có , do đó 12.12 .

+) Xét có 12.13 vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của

Suy ra cân tại 12.14

Do đó là đường trung trực của 12.15

Mà nằm trên nên 12.16

Suy ra cân tại 12.17

Mà có là đường cao

Do đó cũng là 12.18 của .

Suy ra (tính chất đường phân giác) hay . (đpcm)

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại (), cắt tại (). Chứng minh và .

Điền vào chỗ trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Phần 1: Chứng minh .

+) vuông tại 13.1 nên thuộc đường tròn đường kính 13.2.

vuông tại 13.3 nên thuộc đường tròn đường kính 13.4.

Suy ra bốn điểm cùng thuộc đường tròn đường kính 13.5

Hay đường tròn đường kính là đường tròn ngoại tiếp .

Mà 13.6 cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Do đó điểm 13.713.8 cùng thuộc đường tròn đường kính .

+) Ta có là tứ giác nội tiếp (theo ý a)

Nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.9) hay .

Mà là góc nội tiếp chắn cung 13.10; là góc nội tiếp chắn cung 13.11.

Suy ra suy ra (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

+) Lại có 13.12° và 13.13°.

Do đó suy ra (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Suy ra cân tại 13.14

Mà 13.15 là đường phân giác của ().

Suy ra 13.16 cũng là đường cao hay 13.17.

Lại có 13.18 () nên 13.19 . (đpcm)

+) Ta có mà nên 13.20 .

Do đó (hai góc 13.21)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 13.22)

Suy ra .

+) Lại có (13.23 là tia phân giác của )

Do vậy . (đpcm)

Một xí nghiệp sản xuất giấy hiện có lượng bột gỗ và chất tạo dính tương ứng là 14 200 m³ và 2 433 tấn. Xí nghiệp có thể sản xuất ra 2 loại giấy A, B. Biết mức tiêu hao các loại nguyên liệu để sản xuất ra 1 tấn giấy thành phẩm cho trong bảng sau:

Nguyên liệu	Loại giấy
Nguyên liệu	A	B
Bột gỗ (m³)	2	1
Chất tạo dính (tạ)	3	2

Giả sử rằng sản phẩm sản xuất ra đều bán hết với lợi nhuận sản xuất ra mỗi tấn giấy A, B tương ứng là 7 và 4 (triệu VNĐ). Cần sản xuất lượng giấy A, B mỗi loại là bao nhiêu tấn để đạt lợi nhuận cao nhất và không bị động về nguyên liệu?

Trả lời: Sản xuất 14.1 tấn giấy loại A; 14.2 tấn giấy loại B.