Tổng hợp các câu hỏi khó phần Hình học trong đề thi Toán vào 10 Sở Hà Nội

Cho tam giác ABC (AB > AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của BC. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB, AC.

a) Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh bốn điểm A, E, M, F cùng thuộc một đường tròn. 

Ta có:

1.1

1.2

Xét tứ giác AEMF có:  1.3 + 1.4 = 1.5 

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác AEMF nội tiếp

Hay bốn điểm A, E, M , F cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

b) Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh và BC.ME = EF.BK . 

1, Tứ giác AEMF nội tiếp 

(cùng nhìn cạnh 2.1)

Đường tròn (O) có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 2.2)

Hay

Suy ra: (đpcm)

2, Chứng minh tương tự, ta được:

3, Xét và  có:

2.3 (g.g)

(đpcm).

c) Gọi J là trung điểm của EF. Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh AO song song với JM . 

1,  

(do M, J lần lượt là trung điểm của BC, EF)

2, Xét và  có:

(từ phần b)

3.1 (c.g.c)

(hai góc tương ứng) (1)

3, có: OB = 3.2

cân tại O

Lại có: 3.3 (tổng ba góc trong tam giác OKB)

Mà   (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 3.4)

3.5 

3.6  

Mà  3.7  ( vuông tại E)  

Suy ra: (2)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: (3)

4, Mặt khác: có OK = 3.8 = R

cân tại O

(4)

5, Từ (3) và (4) suy ra:

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AO // MJ (đpcm).

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn cắt đường thẳng BC tại điểm S. Gọi I là chân đường vuông góc kẻ từ điểm O đến đường thẳng BC.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp.

Ta có

4.1 (tính chất tiếp tuyến)

4.2 (do )

Xét tứ giác SAOI có 

4.3

Mà hai góc này ở vị trí đối diện

Tứ giác SAOI nội tiếp (ĐPCM).

Gọi H và D lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng SO và SC.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh .

Ta có: 

AD // OI

góc 5.1 (hai góc so le trong)  

góc 5.2 (hai góc cùng nhìn cạnh 5.3 của tứ giác SAOI nội tiếp)

(vì cùng phụ với )

(ĐPCM).

Vẽ đường cao CE của tam giác ABC. Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng BE. Đường thẳng QD cắt đường thẳng AH tại điểm K.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh BQ.BA = BD.BI.

1) (O) có:

tại I

6.1 là trung điểm của BC (quan hệ đường kính, dây cung)

2) có

Q là trung điểm của 6.2

6.3 là trung điểm của BC

là đường trung bình của

// 6.4 

Mà 6.5

6.6

3) Xét tứ giác AQDI có

=  6.7

Mà hai góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh 6.8

Tứ giác AQDI nội tiếp

(hai góc cùng nhìn cạnh 6.9)

Hay

4) Xét và  có

chung

(cmt)

(g.g)

(cặp cạnh tương ứng)

(ĐPCM).

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh CK // SO.

Kẻ đường kính AN của (O)

7.1

+) Xét và có 

7.2

(cùng chắn cung 7.3)

(g.g)

(hai góc tương ứng)

(vì (ý trước))

Lại có (góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện của tứ giác QDIA nội tiếp)

(đối đỉnh)

+) Xét tứ giác ADKC có

Mà hai góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh 7.4

Tứ giác ADKC nội tiếp

(hai góc cùng nhìn cạnh 7.5)

7.6

Mà

KC // SO (ĐPCM).

Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Gọi E là một điểm bất kì trên tia CA sao cho điểm A nằm giữa hai điểm C và E. Gọi M và H lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng BC và BE.

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp.

Ta có M và 8.1 là chân đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng BC và BE nên:

8.2

Xét tứ giác AMBH có:

8.3

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

Tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp (đpcm).

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh BC.BM = BH.BE.

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao 9.1, ta có:

  (hệ thức lượng)

Xét tam giác ABE vuông tại A có đường cao 9.2, ta có:

(hệ thức lượng)

(đpcm).

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh HM là tia phân giác của góc AHB.

1) Xét tam giác ABC vuông cân tại A nên

10.1

AM là đường cao của tam giác ABC nên AM đồng thời là đường phân giác của tam giác này

Hay AM là phân giác của góc BAC

10.2

2) Vì AMBH là tứ giác nội tiếp nên ta có:

(cùng nhìn cạnh 10.3)

(cùng nhìn cạnh 10.4)

10.5 

Hay HM là phân giác góc AHB (đpcm).

Lấy điểm N sao cho M là trung điểm đoạn thẳng AN. GỌi K là giao điểm của hai đường thẳng EN và AB. Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh ba điểm H, K, M là ba điểm thẳng hàng.

1) Tam giác ABC vuông cân tại A có AM là đường cao

Suy ra AM đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC

11.1 là trung điểm của BC 

2) Xét tứ giác ABNC có 

11.2 là trung điểm của đường chéo BC

11.3 là trung điểm của đường chéo AN

ABNC là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Mà , AB = 11.4 nên ABNC là hình vuông

3) Gọi giao điểm của HM và AB là K'. Ta sẽ chứng minh K' trùng K.

Ta có: HM là phân giác góc AHB nên

Xét  và  có:

11.5^o

 chung

(hai cặp cạnh tương ứng)

Suy ra (vì AB = BN do ABNC là hình vuông)

4) Xét  và có:

11.6^o

Suy ra

Mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh

E, K', N thẳng hàng

Suy ra H, K, M thẳng hàng (đpcm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CA. Từ điểm B kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn (C,CA) (M là tiếp điểm, M và A nằm khác phía đối với đường thẳng BC).

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh bốn điểm A, C, M và B cùng thuộc một đường tròn.

1. Vì nên điểm A thuộc đường tròn đường kính 12.1
2. Do BM là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên suy ra 12.2^o
3. Suy ra điểm 12.3 thuộc đường tròn đường kính 12.4.

 => A, C, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính 12.5.

Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB (N khác A và B). Lấy điểm P thuộc tia đối của tia MB sao cho MP = AN.

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh tam giác CPN là tam giác cân và đường thẳng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng NP.

1. Do  và nên 13.1^o.

2.Tương tự, ta có và  nên 13.2^o .

3. Xét hai tam giác NAC và PMC, ta có

 13.3=13.4 

 AN = MP (giả thiết)

Suy ra  (c-g-c).

4. Từ đó NC = 13.5 (hai cạnh tương ứng)

tam giác CPN cân tại đỉnh C. 

5. Gọi I là trung điểm của NP.

Khi đó, ta có

Nên bốn điểm C, I, M, P cùng thuộc đường tròn đường kính 13.6.

Từ đó   (1)

6. Hoàn toàn tương tự, ta có bốn điểm N, A, C, I cùng thuộc một đường tròn

=  13.7 (2)

7. Mặt khác,do nên   (3)

8. Từ (1), (2), (3) ta có   Suy ra 13.8^o.

Vậy ba điểm M, I, A thẳng hàng,

tức đường thẳng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng 13.9.
Ta có điều phải chứng minh.

(Chú thích: là một dạng kí hiệu khác của góc )

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

1. Ta có 14.1^o

2. Xét tứ giác  BHEK có tổng hai góc đối  14.2^o

nên suy ra tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh

1.Do tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp nên ta có:

=> 15.1 =

2. Xét  có:

Chung 15.2

15.3 (cmt)

Suy ra (g-g)

( hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

(đpcm)

Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.

Gọi J là hình chiếu vuông góc của E trên CF.
1. Xét tứ giác HFJE có 16.1^o.

Suy ra tứ giác HFJE là hình chữ nhật  suy ra H, I, J thẳng hàng (1)

2. Lại có nên tứ giác 16.2EJKCEJCK nội tiếp.(tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

16.3^o  (2) (tính chất tứ giác nội tiếp).

3. 16.4^o nên tứ giác BFEC nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

(3)

Từ (1) và (2) suy ra 16.5

4. Ta có:

16.6^o

16.7^o

Suy ra H, J, K thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) suy ra ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.(đpcm).

(Chú thích: là một dạng kí hiệu khác của góc )

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.

Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

 Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

a) Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Chứng minh:

Gọi K là trung điểm của BC.

Ta có BE, CF là các đường cao của ∆ABC

⇒ 19.1 ⊥ AC tại E; 19.2 ⊥ AB tại F

⇒ ∆BEC vuông tại 19.3 và ∆BFC vuông tại 19.4

Xét ∆BEC vuông tại 19.5, có K là trung điểm của BC

⇒ 3 điểm B, E, 19.6 cùng thuộc một đường tròn (1)

Xét ∆BFC vuông tại 19.7, có K là trung điểm của BC

⇒ 3 điểm F, C, 19.8 cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

b) Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) tại A như hình vẽ.

+) Do tứ giác BCEF nội tiếp (theo ý a) nên ta có:

20.1° (định lí tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà  20.2° (hai góc kề bù)

(1)

+) Ta có OA = OB (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OAB cân tại 20.3

Mà (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Lại có (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 20.4

20.5° (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Mà hai góc trên ở vị trí 20.6đồng vịso le trong

⇒ 20.7 // Ax 

Mà Ax ⊥ OA

⇒ EF ⊥ OA (đpcm).

c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh ∆APE ∾ ∆AIB và KH // IP.

Chứng minh:

Ta có:

21.1° (Hai góc kề bù)

Tứ giác BFEC nội tiếp (cmt) nên 21.2° (định lí tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Lại có:

21.3° (Do AO ⊥ EF tại M)

21.4° (Do AH ⊥ BC tại D)

Xét ∆APE và ∆AIB có:

⇒ ∆EPA ∾ ∆21.5 (g.g) (đpcm).

(1)

Gọi Q là giao điểm của AO và đường tròn (O).

Gọi D là giao điểm của AH và BC

Ta có H là giao điểm của BE và CF

⇒ H là trực tâm ∆ABC

⇒ AD ⊥ BC.

Ta có:

21.6° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

21.7° 

Lại có (∆ACD vuông tại 21.8)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 21.9)

+) Xét ∆AEH và ∆ABQ có:

⇒ ∆AEH ∾ ∆21.10 (g.g) 

(2)

Từ (1) và (2)

⇒ 21.11 // HQ (định lý Thales) (3)

Ta có 21.12° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ QC ⊥ AC mà BE ⊥ AC

⇒ 21.13 // BE hay QC // BH (4)

Lại có QB ⊥ AB và CF ⊥ AB

⇒ 21.14 // CF hay QB // CH (5)

Từ (4) và (5) suy ra BHCQ là 21.15hình bình hànhhình chữ nhậthình thoi

Mà K là trung điểm của BC nên K cũng là trung điểm của HQ hay H, K, Q thẳng hàng (6)

Từ (3) và (6) suy ra KH // IP. (đpcm)

Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định.

Vẽ đường kính AA' của (O,R). Gọi I là giao điểm của BA' và EF.

1. Vì EF vuông góc với AD và AD vuông góc với DA' nên EF // 22.1 (1)

 Tam giác A'BD có E là trung điểm của đoạn 22.2.

Suy ra 22.3 là trung điểm của đoạn BN.

22.4 là đường trung bình của tam giác A'BD.

EI // 22.5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra F, E, I thẳng hàng.

(do F là hình chiếu của E trên AD)

2. Xét tứ giác AFIB có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

22.6^o  

Suy ra tứ giác AFIB nội tiếp đường tròn đường kính AI.

Gọi N là trung điểm của AI

N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFIB bán kính AN.  

3. Ta chứng minh điểm N cố định

ΔAA'I có O, N lần lượt là trung điểm của AA' và AI

Suy ra 22.7 là đường trung bình của ΔAA'I

ON // IA' hay ON // A'B (3)

Gọi H là chân đường cao hạ từ O xuống dây AB

Suy ra H là trung điểm của AB

Mà O là trung điểm của AA'

Suy ta 22.8 là đường trung bình của ΔABI.

22.9 // BI hay 22.10 // A'B (4)

Từ (3) và (4) suy ra O, N, H thẳng hàng.

Mặt khác ta có:

Suy ra N là trung điểm của OH

Mà AB cố định H cố định

OH cố định

N cố định

Vậy khi S thay đổi trên tia đối của AB thì F luôn nằm trên đường tròn tâm N, bán kính AN, với N là trung điểm OH. (đpcm)

Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đường thẳng CD tại K. Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác ADHK nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC.

1. Ta có S, D, O, H cùng thuộc một đường tròn nên SHOD là tứ giác nội tiếp. 

(1)

2. Mặt khác (đồng vị) nên  (2)

Từ (1) và (2) suy ra   suy ra tứ giác ADHK nội tiếp.

3. Gọi M là giao điểm của BK và SC, N là giao điểm của AK, BC.

Ta có    mà H là trung điểm của AB nên K là trung điểm của 23.1

23.2

4. Mặt khác

23.3 

Đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC.

Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo .

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.

Dễ thấy các góc ^o  nên các điểm S, C, D, O, H thuộc đường tròn đường kính SO.

Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh các điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn. 

1. Ta có: M là điểm chính giữa cung AB

26.1

.

2. Tứ giác CNKI có C và N là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh 26.2 dưới hai góc bằng nhau nên CNKI nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).
Do đó bốn điểm C, N, I, K cùng thuộc một đường tròn.

Tính giá trị của  .

Đáp án:    .

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

1. Ta có (góc nội tiếp cùng chắn cung 28.1)

Mà  (góc nội tiếp cùng chắn cung 28.2)

mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HB // 28.3 (1).

2. Chứng minh tương tự phần 1 ta có tứ giác AMHI nội tiếp

(góc nội tiếp cùng chắn cung 28.4)

Ta có  (góc nội tiếp cùng chắn cung 28.5)

mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên BK // 28.6 (2) 

3.  Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHIK là hình bình hành.
Mặt khác AN, CM lần lượt là các tia phân giác của các góc A và C trong tam giác ABC nên I là giao điểm ba đường phân giác, do đó BI là tia phân giác của góc B.
Vậy tứ giác BHIK là hình thoi ( dấu hiệu nhận biết hình thoi). 

Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn P Q. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O).

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

1. Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ nên 29.1 là trung trực của BC

⇒ 29.2 là phân giác

2. Ta có  (góc nội tiếp bằng nữa góc ở tâm của đường tròn (Q)) 

Lại có (góc nội tiếp cùng chắn cung 29.3)

Mà

Xét tam giác và là các tam giác cân tại D và Q có hai góc do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ // 29.4 .

3. Chứng minh tương tự ta có ta có D, P, B thẳng hàng và PK // 29.5.

Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK .

Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật.

1. Kẻ tiếp tuyến thứ hai với AT với (O) (T ∈ (O)).

30.1^o.

2. Xét tứ giác OTAB có  mà hai góc đối nhau ⇒ tứ giác OT AB nội tiếp

(góc nội tiếp cùng chắn cung 30.2)

Mà trên (O) có (góc nội tiếp cùng chắn cung 30.3)

hay

Mà hai góc ở vị trí đối nhau trong tứ giác TAPD ⇒ Tứ giác TAPD nội tiếp.

(góc nội tiếp cùng chắn cung 30.4)

3. Trên (O) có  (góc nội tiếp cùng chắn cung CE)

Mà (hai góc đối đỉnh)  (1).

4. Có AT, AB là tiếp tuyến của (O) ⇒ AO là tia phân giác của góc

5. Xét và có

AT = 30.5

AP chung.

(2)

6. Từ (1) và (2)  

Mà EF qua O nên EF là đường kính của (O) ⇒Tứ giác BFCE có hai đường chéo EF và BC bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình chữ nhật.

Đường thẳng (d) đi qua điểm E song song với AO, d cắt BC tại điểm K. Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh HK // DC. 

1. Vì tứ giác ABOH nội tiếp nên  (hai góc cùng chắn một cung)  (1)

2. Mà EK // 31.1  (hai góc so le trong) (2)

3. Từ (1) và (2)

⇒ tứ giác 31.2HKEBKEHOKEHB nội tiếp   (3)

4. Vì tứ giác DCEB nội tiếp (hai góc cùng chắn cung 31.3)  (4)

Từ (3) và (4) ta có mà hai góc nằm ở vị trí 31.4trong cùng phíađồng vịso le trong

⇒ HK // DC.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh

1. Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại B

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung 32.1) 

2. Xét và có

32.2

  chung.

(đpcm)

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

1. Vì AB là tiếp tuyến của (O)  suy ra OB vuông góc với 33.1

2. Vì DE là dây cung của (O) mà H là trung điểm của DE nên suy ra OH vuông góc với 33.2

3. Xét tứ giác ABOH có  ⇒ tứ giác ABOH nội tiếp.

Vậy bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C, I khác O). Đường thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE.

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.

1. Ta có   vì góc nhìn nửa đường tròn đường kính 34.1.

do DK vuông góc với 34.2

2. Suy ra nên tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn đường kính AD. (đpcm)

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh CA.CB = CH.CD.

1. Ta có vì cùng phụ góc AMICBMMABMCB} .

2. Xét hai tam giác và   ta có :

 Suy ra (g-g)

Điền vào ô trống để chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng.

1. Ta có

Suy ra H là trực tâm AD vuông góc với 36.1 (1)

2. (góc nhìn nửa đường tròn đường kính 36.2).

Suy ra (2)

 Từ (1) và (2) suy ra  A, N, D thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh tiếp tuyến tại N của đường tròn đi qua trung điểm của DH.

Gọi E là giao điểm của CK và tiếp tuyến tại N.

1. Ta có  và

2. Mà  

cân tại 37.1, suy ra ED = 37.2. (3)

3. Ta có

=> cân tại 37.3, suy ra EH = 37.4.  (4)

4. Từ (3) và (4) suy ra E là trung điểm của HD (điều phải chứng minh).

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung KB.

Kéo dài MN cắt AB tại điểm I, ta cần chứng minh điểm I cố định.
1. Ta xét vuông tại M có E là trung điểm cạnh huyền DH, suy ra  38.1

2. Xét hai tam giác và là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp C-C-C.

Suy ra   
3. Suy ra tứ giác EMON nội tiếp đường tròn đường kính 38.2 ⇒
4. Ta có: 

Suy ra là số không đổi mà O và đường thẳng AB cố định, suy ra I cố định (điều phải chứng minh).

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

Xét tứ giác AMBN có:

AB = 39.1 (cùng là đường kính đường tròn (O))

OA = OB; OM = 39.2

Suy ra tứ giác AMBN có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AMBN là hình chữ nhật.

Điền vào ô trông để hoàn thành phép chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. 

1. Do câu a) ta có  

2. Hơn nữa (cùng phụ với góc )

Do đó   ⇒ M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt P Q tại điểm F. Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.

1. Trong có 41.1 là trung điểm AB; E là trung điểm QB.

Suy ra 41.2 là đường trung bình  của nên 41.3 // AQ.

2. Ta lại có OF ⊥ OE và AP ⊥ AQ nên AP // 41.4.

3. Trong tam giác ABP có O là trung điểm AB và OF // AP

Suy ra 41.5 là đường trung bình của

F là trung điểm BP.

4. Ta có và .

Do đó  41.6^o.

⇒ ME // NF (góc trong cùng phía bù nhau).

Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính MN để tứ giác MNP Q có diện tích nhỏ nhất.