Đề thi minh họa vào 10 năm 2025 môn Toán - Sở GD&ĐT Hà Nội (có giải thích đáp án chi tiết cho tài khoản FREE)

Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:

a) Tần số ghép nhóm của nhóm [40; 42) là 1.1.

b) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [40; 42) là: 1.2%.

Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng nhau và ghi các số 1, 2, 3, ..., 11, 12; chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần" và biến cố M: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4".

Xác suất của biến cố M là: (Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản. VÍ dụ: 1/2)

Cho hai biểu thức: và với .

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

(Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản. Ví dụ: 1/2)

Trả lời: A =

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Xét biểu thức P = A.B. Điền dấu thích hợp vào chỗ trống:

P =<> P²

Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6% / năm và khoản đầu tư thứ hai là 8% /năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản.

Trả lời:

Số tiền bác Tiến đầu tư cho khoản thứ nhất là 6.1 triệu đồng.

Số tiền bác Tiến đầu tư cho khoản thứ hai là 6.2 triệu đồng.

Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).

Trả lời: Theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm sản phẩm.

Biết rằng phương trình bậc hai có một nghiệm là . Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Trả lời:

Tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên là .

Một ly nước dạng hình trụ có chiều cao là 15 cm, đường kính đáy là 5 cm, lượng nước trong ly cao 10 cm. Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn bằng phẳng như hình vẽ.

a) Tính thể tích nước trong ly.

b) Người ta thả vào ly nước 5 viên bi hình cầu giống hệt nhau, có cùng thể tích, đồng chất và ngập hoàn toàn trong nước, làm nước trong ly dâng lên đúng bằng miệng ly, không tràn ra ngoài. Hỏi thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu cm³? (Giả sử độ dày của ly là không đáng kể)

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng BC.

a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, B cùng thuộc một đường tròn.

Chứng minh:

Gọi I là trung điểm của MB.

Ta có:

+) AB ⊥ MN tại O (giả thiết)

⇒ ∆OMB vuông tại 11.1 và 11.2 là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BM

⇒ 11.3 = IM = IB (1)

+) MH ⊥ CB tại H (giả thiết)

⇒ ∆HMB vuông tại 11.4 và 11.5 là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BM

⇒ 11.6 = IM = IB (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 11.7 = 11.8 = IM = IB

⇒ 4 điểm O, M, H, B cùng thuộc một đường tròn (tâm I và đường kính là MB) (đpcm).

b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh .

Chứng minh:

+) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác MHBO có:

Góc MHO và góc 12.1 là hai góc nội tiếp cùng chắn cung OM.

⇒ góc MHO = góc 12.2 (3)

+) Xét (O) có: 

Góc 12.3 và góc MNA là hai góc nội tiếp cùng chắn cung 12.4.

⇒ góc 12.5 = góc MNA (4)

Từ (3) và (4) ⇒ (đpcm).

c) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh ME.MH = BE.HC.

Xét (O) có:

+) = 13.1 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AM)

  = 13.2°

⇒ = 13.3°

mà (cmt)

⇒ = 13.4°

⇒  = 13.5°

mà = 13.6°

⇒ HE là đường phân giác của tam giác MHB

(5) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

+) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

⇒ = 13.7°

mà = 13.8° (hai góc kề bù)

⇒ = 13.9°

⇒ = 13.10°

Mà = 13.11° (tam giác MHB vuông tại H)

⇒

Lại có  = 13.12°

⇒ ∆MHC ∾ ∆13.13 (góc-góc)

 (6) (cặp cạnh tương ứng)

Từ (5) và (6) ⇒

⇒ ME.MH = BE.HC (đpcm).

d) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh ba điểm C, P, E thẳng hàng.

Chứng minh:

+) Ta có:

(∆MHC ∾ ∆BHM)

⇒

+) ∆MBN có BO vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

⇒ ∆MBN cân tại 14.1

⇒ MB = 14.2

⇒

mà = 14.3°

⇒ ∆MCE ∾ ∆14.4 (c.g.c)

⇒ (hai góc tương ứng)

 ⇒ là hai góc đối đỉnh 

⇒ C, E, N thẳng hàng.

Gọi P' là giao điểm của CE với (O)

⇒  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 

⇒  = 14.5°

⇒ = 14.6° (hai góc kề bù)

Gọi K là trung điểm của CM

⇒ KC = KM = KP' = 14.7

⇒ 4 điểm C, M, P', H cùng thuộc một đường tròn

⇒ P và P' trùng nhau hay C, P, E thẳng hàng (đpcm).

Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được phát một tấm bạt hình chữ nhật ABCD cùng loại có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC (hình 1).

Mỗi lớp sử dụng tấm bạt trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác, hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân: tam giác AMD và tam giác BNC, với độ dài cạnh đáy của hai tam giác cân này là x (m) (hình 2). (Tấm bạt chỉ sử dụng để dựng thành hai mái lều, không trải đáy lều). Tìm x để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.

Điền số thích hợp vào chỗ trống để hoàn thành bài giải dưới đây:

(kết quả viết dưới dạng phân số tối giản. Ví dụ: 1/2)

Bài giải:

Vì chiều dài của lều không đổi (10 m) nên thể tích không gian trong lều lớn nhất khi diện tích đáy lều là lớn nhất.

M là trung điểm của AD

⇒ AM = MD = AD/2 = 15.1 = 15.2 (m)

Kẻ MH ⊥ AD (H ∈ AD)

Tam giác AMD cân tại M có:

MH là đường cao

⇒ MH cũng là đường trung tuyến

Xét tam giác MAH vuông tại H có:

MA² = MH² + AH²  (định lí Pythagore)

⇒ MH² = MA² - AH² = 9 - 15.3x²

Khi đó:

S_∆AMD = 15.4MH.AD

⇒ S²_∆AMD =15.5MH².AD² = 15.6 (36 - x²).x² 

Ta có AD < AM + MD (bất đẳng thức tam giác)

⇒ x < 15.7

⇒ x² < 15.8

⇒ 15.9 - x² > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x² và 36 - x² ta được:

x² + (36 - x²) ≥ 2

⇒ 15.10 ≥ 2

⇒ x²(36 - x²) ≤ 15.11

⇒ S²_∆AMD ≤ 15.12

⇒ S_∆AMD ≤ 15.13

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x² = (36 - x²) hay x² = 15.14

Suy ra (thỏa mãn)

Vậy (m) để thể tích không gian trong lều lớn nhất.