Bài tập nâng cao chương II - phần 1

Cho . Chọn khẳng định đúng nhất.

Chứng minh rằng thì tích chia hết cho .

Gợi ý: Để chứng minh một tích chia hết cho , ta cần chỉ ra trong tích đó có chứa ít nhất một thừa số là số chẵn (tức là chia hết cho ). Do  là số tự nhiên, ta có thể xét hai trường hợp về tính chẵn lẻ của  là:  là số lẻ hoặc  là số chẵn.

Chứng minh rằng với mọi lẻ và .

Gợi ý:

- Phân tích về dạng tích của nhiều thừa số.

- Sử dụng giả thiết là số nguyên lẻ, đặt (với ). Thay biểu thức của vào và rút gọn.

- Đưa hằng số chung ra ngoài và áp dụng tính chất: "Tích của 4 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 24" để đưa ra kết luận cuối cùng.

Có bao nhiêu cặp chữ số sao cho ?

Tìm chữ số sao cho .

Đáp án: x = .

Cho là số tự nhiên lẻ. Tìm số dư khi chia cho .

Đáp án: Số dư là .

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì

Gợi ý:

Để chứng minh một biểu thức chia hết cho , ta cần chứng minh biểu thức đó đồng thời chia hết cho và (vì và là hai số nguyên tố cùng nhau có tích bằng ).

- Bước 1: Chứng minh biểu thức chia hết cho bằng cách xét tổng hoặc tính chẵn lẻ của các thừa số.

- Bước 2: Chứng minh biểu thức chia hết cho bằng cách xét các số dư có thể có khi chia cho (các trường hợp , , ).

Chứng minh rằng: Nếu thì .

Gợi ý:

Để chứng minh một biểu thức chia hết cho 9 khi biết trước một biểu thức khác chia hết cho 9, ta thường tìm cách phân tích biểu thức cần chứng minh thành tổng hoặc hiệu của biểu thức đã cho (có thể nhân thêm một số) với một đại lượng luôn chia hết cho 9.

Tìm số tự nhiên để chia hết cho .

Đáp án: 9.1; 9.2; 9.3.

(Viết các số theo thứ tự tăng dần)

Tìm tổng các số tự nhiên thỏa mãn: chia hết cho .

Đáp án: Tổng các số tự nhiên  thỏa mãn là .