Bài tập nâng cao chương II - phần 2

3/6/2023 11:53:00 AM

Tìm số tự nhiên sao cho và đều là số nguyên tố.

Đáp án: .

Tìm các số nguyên tố sao cho vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố.

Đáp án: .

Ta gọi là 2 số nguyên tố liên tiếp nếu giữa và không có số nguyên tố nào khác. Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp sao cho cũng là số nguyên tố.

Đáp án: ; ; .

Chứng minh rằng nếu và là các số nguyên tố thì cũng là số nguyên tố.

Gợi ý:

Để giải quyết bài toán, ta sẽ sử dụng tính chất chia hết cho 3 của số nguyên tố. 

Ta xét lần lượt các trường hợp của số nguyên tố : , và .

- Với và , ta tính trực tiếp giá trị của để kiểm tra xem có phải số nguyên tố không.

- Với , vì là số nguyên tố nên không thể chia hết cho 3. Do đó chia cho 3 sẽ có số dư là 1 hoặc 2. Ta biểu diễn hoặc và chứng minh trong các trường hợp này luôn chia hết cho 3 (tức là hợp số), qua đó loại đi trường hợp .

Cuối cùng, lấy giá trị thỏa mãn thay vào biểu thức để đưa ra kết luận.

Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.

Gợi ý: Để chứng minh hai số là nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. 

Chứng minh rằng : và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Gợi ý: Để chứng minh hai số là nguyên tố cùng nhau, ta gọi là ước chung lớn nhất của chúng và đi chứng minh .

Nếu là số nguyên tố thì là số nguyên tố hay hợp số?

Đáp án: .

Cho và là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi là số nguyên tố hay hợp số?

Gợi ý: Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 3 chỉ có thể dư 1 hoặc 2. Ta xét từng trường hợp của để xem trường hợp nào thỏa mãn điều kiện cũng là số nguyên tố, từ đó tìm được dạng đúng của và thay vào biểu thức để phân tích và kết luận.

Đáp án: .

Cho hai số tự nhiên khác 0 thỏa mãn và . Có bao nhiêu cặp như vậy?

Đáp án: Có cặp.

Tìm () biết và .

Đáp án: ; .

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1, chia cho 19 dư 11.

Đáp án: .

Một số chia cho dư , chia cho dư , chia cho dư . Hỏi số đó chia cho dư bao nhiêu?

Đáp án: Số dư là .

Số học sinh khối 6 của một trường chưa đến 400 bạn, biết khi xếp hàng 10; 12; 15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính số học sinh khối 6 của trường đó.

Đáp án: Khối 6 trường đó có học sinh.

Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được còn lại mỗi bạn thu được . Lớp 6B có 1 bạn thu được còn lại mỗi bạn thu được . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng đến .

Đáp án:

- Lớp 6A có học sinh;

- Lớp 6B có học sinh.

Số học sinh tham gia nghi thức đội là một số có ba chữ số lớn hơn . Nếu xếp hàng thì dư em, nếu xếp hàng thì thiếu em và xếp hàng thì thiếu em. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh tham gia?

Đáp án: học sinh.