Bài tập nâng cao chương VI - phần 2

Một trường học có học sinh, trong đó tổng số học sinh khối và bằng tổng số học sinh toàn trường. Số học sinh khối chiếm , còn lại là học sinh khối . Hỏi mỗi khối có bao nhiêu học sinh? Biết rằng tổng số học sinh khối và khối gấp hai lần số học sinh khối .

Đáp án:

Khối : 1.1 học sinh;

Khối : 1.2 học sinh;

Khối : 1.3 học sinh;

Khối : 1.4 học sinh.

Tại một cửa hàng giá niêm yết của một con gấu bông là đồng, một cuốn sách Harry Potter là đồng. Nhân dịp Quốc tế Thiếu nhi 1 tháng 6 cửa hàng giảm cho một con gấu bông là và một cuốn sách Harry Potter là . Hỏi với số tiền tiết kiệm được là đồng thì bạn An mua được một con gấu bông và một cuốn sách Harry Potter đó không?

Đáp án: CóKhông.

Trong tháng vừa rồi, mẹ bạn Trân dự định dùng triệu đồng chi trả các khoản tiền điện, tiền nước và truyền hình cáp. Biết tiền điện chiếm tổng số tiền, tiền nước chiếm số tiền còn lại. Hỏi sau khi thanh toán xong mẹ bạn Trân còn thừa bao nhiêu tiền? Biết tiền truyền hình cáp là đồng.

Đáp án: đồng.

Tại một phân xưởng lao động, đầu năm số công nhân bậc  bằng  số công nhân bậc . Đến cuối năm có  công nhân bậc  được lên thành bậc  nên số công nhân bậc  bằng một nửa số công nhân bậc . Tính tổng số công nhân bậc  và bậc  ở phân xưởng đó.

Đáp án: công nhân.

Trong một kỳ thi tốt nghiệp THPT, tổng số điểm 6 môn thi của 4 học sinh như sau: điểm của người thứ nhất bằng  tổng số điểm của 3 người còn lại; điểm của người thứ hai bằng  tổng số điểm của 3 người còn lại; điểm của người thứ ba bằng  tổng số điểm của ba người còn lại; người thứ tư được  điểm. Hỏi mỗi người được bao nhiêu điểm?

Đáp án: 

Người thứ nhất: 5.1 điểm;

Người thứ hai: 5.2 điểm;

Người thứ ba: 5.3 điểm;

Người thứ tư: 5.4 điểm.

Một người mang cam đi chợ bán. Người thứ nhất mua số cam và quả. Người thứ hai mua số cam còn lại và thêm quả. Người thứ ba mua số cam còn lại và thêm quả. Người thứ tư mua số cam còn lại và quả thì vừa hết. Tính số cam người đó mang đi bán?

Đáp án:  quả.

Hai ô tô cùng đi từ đến . Ô tô thứ nhất xuất phát từ lúc giờ sáng và đến lúc giờ chiều. Ô tô thứ hai xuất phát từ lúc giờ sáng và đến sớm hơn xe thứ nhất nửa giờ. Hỏi ô tô thứ hai đuổi kịp ô tô thứ nhất ở cách bao nhiêu ki-lô-mét nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của ô tô thứ nhất là km/h.

Đáp án: km.

Tính nhanh tổng sau: .

Đáp án: .

(Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)

Tính tổng .

Đáp án: .

(Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)

Tính tích:

Đáp án: .

(Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)

Tính tổng .

Đáp án: .

(Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)

Cho biểu thức . Điền dấu thích hợp vào chỗ trống:

Đáp án: 12.1 ;  12.2 .

Cho . Chứng tỏ rằng: .

Gợi ý: Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức kép nên cần tách riêng thành hai chiều để giải quyết. Hãy đếm tổng số lượng các phân số có trong biểu thức , sau đó thử chia chúng thành các nhóm có số lượng đều nhau. Cuối cùng, sử dụng phương pháp làm trội và làm giảm bằng cách thay thế các mẫu số trong mỗi nhóm bằng một số tròn chục chung để tạo ra các tổng phân số quen thuộc, dễ dàng tính toán hơn.

Cho . So sánh với

Đáp án:  =>< .

Cho  và . Chứng tỏ  không là một số tự nhiên.

Gợi ý: Để chứng minh một biểu thức không phải là số tự nhiên, một phương pháp cực kì hiệu quả là dùng kỹ thuật "kẹp" giá trị của biểu thức đó giữa hai số nguyên liên tiếp. Hãy thử làm trội và làm giảm các phân số bằng cách thay đổi mẫu số chung thành tổng  để dễ dàng đánh giá. Đối với việc đánh giá chiều nhỏ hơn, việc áp dụng linh hoạt tính chất mở rộng của phân số  (khi ) sẽ là chiếc chìa khóa để phá giải bài toán.