Luyện tập chung 2 chương IX

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, G là trọng tâm của tam giác. Điền vào ô trống để được đẳng thức đúng.

AG = .GM.

Điểm cách đều 3 cạnh của một tam giác là 

Cho tam giác ABC có đường cao BD, CE cắt nhau tại H. M là giao điểm của AH với BC.

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

GT: ,

       Đường cao BD, CE cắt nhau tại H

       AH cắt BC tại M

KL: .

Vì BD, CE là hai đường cao trong , cắt nhau tại H

Suy ra 3.1 là trực tâm của

Suy ra AH là đường cao thứ 3 (xuất phát từ đỉnh 3.2) trong

Suy ra

Hay (ĐPCM)

Trên tia đối của EH lấy điểm K sao cho KF = FH.

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Xét và có

(= 4.1)

4.2 chung

EK = 4.3

Suy ra (c.g.c)

Suy ra (hai góc tương ứng) (1)

+) Ta có:

4.4 (vì vuông tại M)

4.5 (vì vuông tại E)

Suy ra (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra

Hay (ĐPCM).

Điều kiện của tam giác ABC để HM = HD = HE là:

Cho tam giác ABC có đường cao BD, CE cắt nhau tại H, BD = CE.

Chứng minh AH là đường trung trực của BC.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

GT: ,

       Đường cao BD, CE cắt nhau tại H,

       BD = CE

KL: AH là đường trung trực của BC.

+) Xét và có:

(= 6.1)

chung

BD = 6.2 (gt)

Suy ra (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra AB = 6.3 (hai cạnh tương ứng) (1)

Và (hai góc tương ứng)

+) Xét và  có:

(cmt)

AB = 6.4 (cmt)

6.5 chung

Suy ra (c.g.c)

Suy ra HB = 6.6 (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của BC (ĐPCM)

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BE, CF cắt nhau tại G. 

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

GT: , trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G

KL: .

Tam giác ABC có đường trung tuyến BE, CF cắt nhau tại G

Suy ra 7.1.CF; GB = 7.2.BE (chú ý: Đáp án viết đưới dạng phân số tối giản a/b. VD: 1/2)

Suy ra

Suy ra CF + BE =  7.3.(GC + GB) (chú ý: Đáp án viết đưới dạng phân số tối giản a/b. VD: 1/2)

Mà GC + GB > 7.4 (bất đẳng thức trong tam giác BGC)

Suy ra CF + BE >  7.5.BC (chú ý: Đáp án viết đưới dạng phân số tối giản a/b. VD: 1/2)

Suy ra điều phải chứng minh.

Chứng minh trong tam giác vuông, trung điểm của cạnh huyền là giao điểm của ba đường trung trực.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

GT: Tam giác vuông

KL: Trung điểm của cạnh huyền là giao điểm của 3 đường trung tuyến.

Gọi M là giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác ABC

Suy ra MA = MB = 8.1

Ta cần chứng minh M là trung điểm của BC.

+) có MA = MB

Suy ra cân tại 8.2

Suy ra

Mà 8.3

Suy ra 8.4 -

+) có MA = 8.5

Suy ra  cân tại 8.6

Suy ra

Mà  8.7

Suy ra 8.8 -

+) (8.9 - )  + (8.10 - ) 

8.11 - 2.( + )

8.12 - 2.

8.13

Suy ra B, M, C thẳng hàng

Mà MB = 8.14

Suy ra M là trung điểm của BC.

Suy ra điều phải chứng minh.

Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF.

Chứng minh 4.(AD + BE + CF) > 3.(AB + BC + CE).

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

GT: , AD, BE, CF là 3 đường trung tuyến

KL: 4.(AD + BE + CF) > 3.(AB + BC + CE)

+) Gọi G là giao điểm của 3 đường trung tuyến trong

Suy ra AG = 9.1.AD; BG = 9.2.BE; CG = 9.3.CF (chú ý: Đáp án viết dưới dạng phân số tối giản a/b. VD: 1/2)

Suy ra AG + BG + CG = 9.4 AD + BE + CF (chú ý: Đáp án viết dưới dạng phân số tối giản a/b. VD: 1/2)

+) Ta có AG + GB > 9.5 (bất đẳng thức trong )

AG + GC > 9.6 (bất đẳng thức trong )

BG + GC > 9.7 (bất đẳng thức trong )

Suy ra 9.8.(AG + BG + CG) > AB + BC + CA

Suy ra 9.9 (AD + BE + CF) > AB + BC + CA (chú ý: Đáp án viết dưới dạng phân số tối giản a/b. VD: 1/2)

Suy ra 4.(AD + BE + CF) > 3.(AB + BC + CE) (ĐPCM)

Cho tam giác ABC vuông tại A, H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. M, N lần lượt là trung điểm của AH và CH.

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

GT:

       M, N là trung điểm của AH, CH

KL: .

Trên tia đối của NM lấy K sao cho KN = NM

+) Xét và có:

HN = 10.1 (N là trung điểm của HC)

MN = 10.2 (cách dựng)

(đối đỉnh)

Suy ra (c.g.c)

Suy ra MH = 10.3 (hai cạnh tương ứng)

 Và (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Suy ra AH // 10.4

+) Xét và  có:

AM = 10.5 (= MH)

10.6 chung

(so le trong do AH // 10.7)

Suy ra (c.g.c)

Suy ra (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Suy ra MK // 10.8

Lại có BA 10.9

Suy ra BA MK hay NM AB

+) có

Suy ra AH, MN là các đường cao của

Mà AH cắt NM tại M

Suy ra 10.10 là trực tâm của

Suy ra 10.11 là đường cao hạ từ đỉnh B của

Suy ra (ĐPCM)