Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

3/13/2023 7:56:30 AM

Trọng tâm của tam giác là

giao điểm của một đường trung tuyến với 1 cạnh
giao điểm của đường phân giác với 1 cạnh
giao điểm của 3 đường trung tuyến trong tam giác.
giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác.

Điền vào ô trống để được khẳng định đúng.

Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Chú ý: Đáp án viết dưới dạng phân số tối giản a/b không cách. VD: 1/2.

Cụm từ điền vào chỗ chấm để được khẳng định đúng là?

Giao điểm của 3 đường phân giác ....

cách đều ba cạnh của tam giác đó.
cách đều 3 đỉnh của tam giác đó.
cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng đường phân giác xuất phát từ đỉnh đó.
cách mỗi cạnh 1 khoảng bằng đường phân giác xuất phát từ đỉnh đó.

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài AM biết khoảng cách từ G đến điểm A bằng 8 cm.

Đáp án: AM = cm.

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BE, CF cắt nhau tại G.

Chứng minh .

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

GT: , trung tuyến BE, CF cắt nhau tại G

KL:

Tam giác ABC có đường trung tuyến BE, CF cắt nhau tại G

Suy ra 5.1.CF; GB = 5.2.BE (chú ý: Đáp án viết đưới dạng phân số tối giản a/b. VD: 1/2)

Suy ra

Suy ra GC = 5.3.GF

GB = 5.4.GE

Suy ra 5.5 (GF + GE) = GC + GB

Mà GC + GB > BC (bất đẳng thức trong tam giác BGC)

Suy ra 5.6 (GF + GE) > BC

Suy ra (ĐPCM)

Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF.

Chứng minh AD + BE + CF < AB + BC + CE.

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

GT: , trung tuyến AD, BE, CF

KL: AD + BE + CF < AB + BC + CE

Trên tia đối của tia DA lấy A' sao cho DA = DA'

Khi đó AA' = 2.AD

+) Xét và có

AD = A'D (cách dựng)

BD = 6.1

(hai góc 6.2)

Suy ra (c.g.c)

Suy ra AB = CA'

Suy ra AB +AC = CA' + AC

Mà CA' + AC > AA' (bất đẳng thức trong tam giác ACA')

Hay AB + AC > 6.3.AD (1)

+) Chứng minh tương tự ta được

BC + BA > 6.4.BE (2)

CA + CB > 6.5.CF (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

6.6.(AB + BC + CE) > 6.7.(AD + BE + CF)

Suy ra AB + BC + CE > AD + BE + CF (ĐPCM)

Cho tam giác ABC, K là giao điểm của 2 đường phân giác kẻ từ B và C của tam giác. Biết , tính .

Đáp án: =

Cho tam giác ABC có K là giao điểm của 2 đường phân giác kẻ từ B và C. Gọi D là giao điểm của AK với BC, M là chân đường vuông góc kẻ từ K xuống BC.

Chứng minh .

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

(nếu đáp án là phân số, học sinh điền đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

GT: , phân giác góc B và C cắt nhau tại K

AK cắt BC tại D

KL: .

+ Vì K là giao điểm của 2 đường phân giác kẻ từ B và C

Suy ra AD là đường phân giác kẻ từ A của tam giác ABC

Suy ra 8.1

CK là tia phân giác của suy ra 8.2

BK là tia phân giác của suy ra 8.3

Suy ra 8.4.()

Suy ra 8.5. = 8.6 (vì (tổng ba góc trong một tam giác))

Suy ra 8.7 - (1)

+) vuông tại M có

8.8 (tổng của hai góc nhọn trong tam giác vuông)

8.9 - (2)

+) có

(góc ngoài của tam giác)

8.10 - (do (1))

Hay 8.11 - (3)

Từ (2) và (3) suy ra (ĐPCM)

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I.

Chứng minh 3 điểm A, M, I thẳng hàng.

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

GT: , AB = AC,

Trung tuyến AM

Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I

KL: A, M, I thẳng hàng.

Vì I là giao điểm của 2 đường phân giác BD và CE

Suy ra AI là đường phân giác xuất phát từ đỉnh 9.1 của (1)

+) Xét và có

AB = 9.2 (do cân tại A)

9.3 chung

BM = 9.4 (do AM là đường trung tuyến)

Suy ra (c.c.c)

Suy ra (hai góc tương ứng)

Suy ra 9.5 là tia phân giác của (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra A, M, I thẳng hàng (ĐPCM).

Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để I là trọng tâm?

AB = BC
AB = 2BC
2AB = BC
AB > BC

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE = PG. Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho QF = QG.

Chứng minh GB = GE, GC = GF.

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

G là giao điểm hai đường trung tuyến BP và CQ nên 11.1 là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra: BG = 2.11.2; 11.3 = 2.GQ

Lại có GP = PE; GQ = QF

Nên ta có:

BG = GP + 11.4 = 11.5;

GC = 11.6 + QF = 11.7 (đpcm)

Chứng minh EF song song và bằng BC.

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Xét và có:

12.1 = GE; GC = 12.2; (hai góc đối đỉnh)

Suy ra

Nên ta có: BC = 12.3 (hai cạnh tương ứng)

(hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Suy ra BC // EF (đpcm)

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AC. Trên đoạn BD lấy điểm E sao cho BE = 2DE. Điểm F thuộc tia đối của tia DE sao cho BF = 2BE. Gọi K là trung điểm của CF và G là giao điểm của EK với AC. Khẳng định nào sau đây đúng?

G là trọng tâm .
G là trung điểm EK.
G là trung điểm CD.

Chứng minh trong tam giác tổng độ dài ba đường trung tuyến nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn chu vi tam giác đó.

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Xét tam giác ABC có trung tuyến AD, BE, CF và trọng tâm G.

Xét có GB + GC > 14.1 (bất đẳng thức trong tam giác)

14.2 (tính chất trọng tâm)

BE + 14.3 > (1)

Chứng minh tương tự ta có:

AD + BE > 14.4 (2)

AD + CF > 14.5 (3)

Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được:

14.6(AD + BE + CF) > (AB + BC + CA)

AD + BE + CF > (AB + BC + CA) (*)

Ta cần chứng minh AD + BE + CF < AB + BC + CA

Trên tia AD lấy điểm A' sao cho DA' = DA

Xét và có:

DB = 14.7; ; AD = A'D

14.8 = A'C (hai cạnh tương ứng)

Lại có AA' < 14.9 + A'C (bất đẳng thức tam giác AA'C)

Suy ra AA' < AC + 14.10 hay 2AD < AB + AC

14.11 <

Chứng minh tương tự ta được

và

Từ đó suy ra:

AD + BE + CF < AB + BC + CA (**)

Từ (*) và (**) ta được đpcm.

Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G.

Chứng minh BD = CE.

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

cân tại A nên ta có

AB = 15.1;

E, D lần lượt là trung điểm của AB, AC nên

BE = 15.2 = AB

15.3 = AD = AC

Lại có AB = AC

Suy ra AE = 15.4 = AD = DC

Xét và có:

15.5 chung, BE = 15.6,

Do đó

Suy ra CE = 15.7 (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

Chứng minh tam giác GBC là tam giác cân.

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra 16.1 = ; 16.2 =

Mà 16.3 = BD nên

hay CG = 16.4

Suy ra tam giác BGC cân tại 16.5 (đpcm)

Chứng minh .

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có: 17.1 =

Suy ra GD = 17.2

Suy ra GD = 17.3

Chứng minh tương tự ta có:

17.4 = GC

Do đó GD + GE =

Mà GB + GC > 17.5 (bất đẳng thức tam giác)

Do đó (đpcm)

Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Các đường phân giác ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau ở E. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

[PDF_Blank]

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Gọi F, H, G lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E xuống các đường thẳng AB, AC và BC.

18.1 phân giác góc ngoài tại đỉnh B của

Xét và có:

18.2 chung, 18.3,

EG = 18.4 (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có:

EG = EH

Suy ra EF = 18.5 = EH

Xét và có:

18.6 chung, ; EF = 18.7

(hai góc tương ứng)

18.8 là đường phân giác góc

Lại có AD là đường phân giác góc

Suy ra A, D, E thẳng hàng (đpcm)

Cho tam giác ABC. Các đường phân giác góc B và góc C cắt nhau ở I.

Nếu , hãy tính số đo góc .

Đáp án: =

Nếu , hãy tính số đo .

Đáp án: = .