Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

4/19/2023 2:14:53 PM

Giao điểm của các đường trung trực trong tam giác thì

cách đều các cạnh của tam giác.
cách đều các đỉnh của tam giác.
cách đỉnh một khoảng bằng lần đường trung trực ứng với cạnh đó.
cách đỉnh một khoảng bằng lần đường trung trực ứng với cạnh đó.

Trực tâm của tam giác là

giao điểm của 3 đường trung tuyến.
giao điểm của 3 đường trung trực.
giao điểm của 3 đường phân giác.
giao điểm của 3 đường cao.

Cho tam giác ABC vuông tại B. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Điểm nào dưới đây là trực tâm của ?

Cho tam giác ABC có , H là trực tâm của tam giác ABC. Tính .

Đáp án: .

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh trong một tam giác đường cao đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.

GT: Trong một tam giác đường cao đồng thời là đường trung trực

KL: Tam giác đó là tam giác cân.

Xét tam giác ABC có AH là đường cao đồng thời là đường trung trực. Hình vẽ.

Ta chứng minh cân (1)

Ta có AH là đường trung trực của 5.1

Suy ra AB = 5.2

Suy ra cân tại 5.3

Vậy (1) được chứng minh.

Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Đường trung trực của AB cắt AM tại O.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh OA = OB = OC.

Gọi I là trung điểm của AB

+) Xét và có

AB = 6.1

6.2 chung

BM = 6.3

Suy ra (c.c.c)

Suy ra (góc tương ứng)

Mà = 6.4

Suy ra = 6.5

Suy ra tại M (là trung điểm của BC)

Suy ra AM là đường trung trực của BC

+) Có O là giao điểm của 2 đường trung trực của AB và BC trong

Suy ra OA = OB = OC (ĐPCM).

Cho tam giác ABC vuông tại A có . Tia phân giác của cắt AC tại E. Kẻ . Kẻ .

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh AB, CD, KE đồng quy.

GT: A có

Tia phân giác của cắt AC tại E

Kẻ

KL: AB, CD, KE đồng quy.

Xét có

BA là đường cao ứng với cạnh 7.1

EK là đường cao ứng với cạnh 7.2

CD là đường cao ứng với cạnh 7.3

Suy ra AB, CD, EK đồng quy tại một điểm (ĐPCM)

Giả sử AB, EK, CD đồng quy tại điểm P.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh EP = EB = EC.

Ta có 8.1. (vì BE là đường phân giác của ) (chú ý: Đáp án viết dưới dạng phân số tối giản a/b. VD: 1/2)

Suy ra 8.2. = 8.3 (chú ý: Đáp án viết dưới dạng phân số tối giản a/b nếu không nguyên. VD: 1/2)

+) vuông tại D có

(tổng của hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Suy ra = 8.4

+) Tương tự ta có 8.5

+) có

(= 8.6)

Suy ra đều

+) Xét và có:

8.7 chung

Suy ra (g.c.g)

Suy ra DP = 8.8

Suy ra 8.9 là trung điểm của PC

Mà tại D

Suy ra BD là đường trung trực của PC

+) Chứng minh tương tự ta có

PK là đường trung trực của AB

CA là đường trung trực của PB

+) Xét có ba đường trung trực BD, PK, CA đồng quy tại E

Suy ra EP = EB = EC (ĐPCM).

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BE. Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho AF = AE. Gọi H là giao điểm của BE và CF.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh .

+) Xét và có:

AB = 9.1 (vì cân tại A)

chung

AE = 9.2 (gt)

Suy ra (c.g.c)

Suy ra (hai góc tương ứng)

Suy ra 9.3

Suy ra CF⊥ AB

Suy ra CF là đường cao trong

+) có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H

Suy ra 9.4 là trực tâm của

Suy ra AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A

Suy ra (ĐPCM).

Cho tam giác ABC có O là giao điểm của 3 đường trung trực. Biết BO là đường phân giác của góc B.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh BO là đường trung trực của AC.

+) Vì O là giao điểm của 3 đường trung trực

Suy ra OA = OB = OC

+) Xét có

OA = 10.1 (cmt)

Suy ra cân tại 10.2

Suy ra

Có 10.3 (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra 10.4 - (1)

+) có OC = 10.5 (cmt)

Suy ra cân tại 10.6

Suy ra

Có 10.7 (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra 10.8 - (2)

+) Lại có (vì BO là tia phân giác của ) (3)

+) Từ (1), (2), (3) suy ra

+) Xét và có

(cmt)

10.9 chung

OA = OC

Suy ra (c.g.c)

Suy ra BA = 10.10

Lại có OA = OC

Suy ra BO là đường trung trực của AC (ĐPCM).

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD.

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh O nằm trên đường trung trực của AD và CD.

Vì O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC

11.1 = OB = OC (tính chất đường trung trực)

Mà OB = 11.2 (giả thiết)

OA = 11.3 = OC

O thuộc đường trung trực của 11.4 và CD (đpcm)

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh tam giác ABD và tam giác CBD là các tam giác vuông.

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = 12.1

Mà 12.2 = OD (giả thiết) nên OA = 12.3 = OD

Suy ra ∆OAB cân tại 12.4 và ∆OAD cân tại 12.5

Xét cân tại 12.6

12.7

Xét cân tại 12.8

12.9

Suy ra

12.1012.11

12.12

12.13

12.14

Suy ra tam giác BAD vuông tại 12.15

Chứng minh tương tự ta có tam giác BCD vuông tại 12.16 (đpcm)

Biết . Tính số đo góc ADC.

Đáp án: .

Cho tam giác ABC đều. Trên cạnh AB, BC, AC lấy theo thứ tự 3 điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP.

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.

đều nên

AB = BC = 14.1;

14.2

Mà AM = 14.3 = CP

AB - 14.4 = BC - 14.5 = AC - 14.6

BM = CN = AP

Xét và có:

AM = 14.7; ; 14.8 = BM

MP = 14.9 (hai cạnh tương ứng) (1)

Chứng minh tương tự ta có:

14.10 = PN (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MP = PN = MN

đều (đpcm)

Gọi O là giao điểm các đường trung trực của . Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh O là giao điểm các đường trung trực của tam giác MNP.

Tam giác ABC đều có O là giao điểm các đường trung trực nên OA = OB = 15.1

Đồng thời O là giao điểm các đường phân giác trong tam giác ABC đều

AO, 15.2, CO lần lượt là các tia phân giác của .

Suy ra 15.3

Xét và có:

AM = 15.4; 15.5; 15.6 = OB

15.7 = ON (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có

OM = 15.8 (hai cạnh tương ứng)

Do đó OM = ON = OP

Hay O là giao điểm các đường trung trực của . (đpcm)

Cho tam giác ABC có . Các đường trung trực của AB, AC lần lượt cắt BC ở E và F. Tính .

Đáp án:

Cho có ba góc nhọn. Các điểm F, K , I lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AB, AC. Gọi H là giao điểm của các đường trung trực trong . Trên tia đối của tia FH lấy điểm sao cho . Trên tia đối của tia KH lấy điểm sao cho . Trên tia đối của tia IH lấy điểm sao cho .

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh hình lục giác có 6 cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối đôi một song song.

Xét và có:

AK = 17.1; ; 17.2

17.3 = (hai cạnh tương ứng) (1)

(hai góc tương ứng)

Vì , mà hai góc ở vị trí so le trong

(2)

Xét và có:

17.4 = ; ; AI = 17.5

17.6 = (hai cạnh tương ứng); (3)

(hai góc tương ứng)

Vì , mà hai góc này ở vị trí so le trong

(4)

Từ (1) và (3) suy ra

Từ (2) và (4) suy ra

Chứng minh tương tự ta có:

;

Mà H là giao điểm của ba đường trung trực nên

AH = BH = 17.7

Do đó: .

Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh .

Ta có

(hai góc so le trong)

Xét và có:

; ; là cạnh chung

18.1 =

Chứng minh tương tự ta được:

18.2; 18.3

Xét và có:

18.4; 18.5; 18.6

(đpcm)

Cho vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA.

Điền vào chỗ trống để hoàn thiện phép chứng minh BM vuông góc với AD.

Ta có: BA = 19.1 (giả thiết)

Suy ra ∆BAD cân tại 19.2

Lại có 19.3 là đường phân giác của

Suy ra 19.4 đồng thời là 19.5 của ∆BAD

Do đó BM ⊥ AD (đpcm)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM. Điền vào chỗ trống để hoàn thành phép chứng minh ba đường thẳng AK, BM, DH đồng quy.

Xét ∆20.1 có:

BM ⊥ 20.2;

20.3 ⊥ MD;

DH ⊥ 20.4

Suy ra ba đường thẳng AK, BM, 20.5 là 3 đường cao của ∆20.6

Do đó ba đường thẳng AK, BM, DH đồng quy (đpcm)