Bài tập nâng cao chương II - phần 1

Bác An muốn dựng khung cổng hình chữ nhật , bên ngoài cổng được bao bởi một khung sắt dạng nửa đường tròn tâm có bán kính (hình vẽ). Tính các kích thước của khung cổng để diện tích lớn nhất.

Một sợi dây dài 200 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, đoạn dây thứ hai được uốn thành hình lục giác đều. Hỏi tổng diện tích của hai hình này đạt giá trị nhỏ nhất khi cắt dây như thế nào?

Đáp án: Sợi dây 200 cm cắt thành 2 đoạn có độ dài lần lượt là 2.1 cm và 2.2 cm.

(Điền kết quả theo thứ tự giảm dần)

Mảnh đất của bác An có dạng hình vuông cạnh bằng 8 m. Trên mảnh đất đó, bác An làm không gian thư giãn bao gồm: hồ nước là hình quạt tròn có tâm bán kính ; khu trồng hoa là các hình quạt tròn lần lượt có tâm là và có cùng bán kính. Hai điểm thuộc cạnh ; hai điểm thuộc cạnh ; hai điểm thuộc cạnh ; hai điểm thuộc cạnh và m (như hình bên dưới). Biết rằng, mỗi mét vuông làm hồ nước chi phí hết 300 nghìn đồng và mỗi mét vuông trồng hoa chi phí hết 200 nghìn đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để bác An làm không gian thư giãn trên (đơn vị nghìn đồng và lấy ).

Đáp án: nghìn đồng

Tổng chi phí vận hành cho một con tàu được tính gồm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ của tàu và được tính 360 nghìn đồng/giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ của tàu. Biết rằng khi tốc độ của tàu là 10 km/h thì phần thứ hai được tính 160 nghìn đồng/giờ. Tính tốc độ của tàu để tổng chi phí vận hành trên 1 km là nhỏ nhất.

Đáp án: Tốc độ của tàu bằng km/h thì chi phí vận hành thấp nhất.

Một chủ hộ kinh doanh ở Hòn Sơn có 33 phòng trọ cho thuê, muốn định giá thuê phòng trong kỳ nghỉ hè sắp tới. Người chủ thấy rằng: nếu giá cho thuê mỗi ngày là 250 000 đ/1 phòng trọ thì không có phòng trống. Nếu cứ mỗi lần tăng giá một phòng trọ lên 20 000đ/1 ngày thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để thu nhập mỗi ngày cao nhất?

Đáp án: Chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với nghìn đồng để thu nhập mỗi ngày cao nhất.

Cho một khu đất hình tam giác vuông tại , có , . Bác An muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật trên khu đất đó để trồng rau sao cho các đỉnh lần lượt nằm trên các cạnh (xem hình vẽ minh họa). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn theo đơn vị .

Đáp án:  m².

Trường THCS X đang khảo sát để làm một vườn thực nghiệm hình chữ nhật trên khu đất dạng tam giác vuông tại nằm ở góc khuôn viên nhà trường (như hình dưới), với . Biết chi phí làm vườn thực nghiệm là triệu đồng, hỏi nhà trường cần chi bao nhiêu triệu đồng để diện tích khu vườn làm được là lớn nhất?

Đáp án: Nhà trường cần chi triệu đồng.

Một mảnh đất hình chữ nhật có , , có hai vị trí cố định lần lượt thuộc cạnh và sao cho . Người ta tạo ra một khu đất hình thang để trồng hoa, trong đó các điểm tương ứng thuộc các cạnh và . Hỏi diện tích lớn nhất của khu đất trồng hoa (phần tô màu) là bao nhiêu mét vuông?

Đáp án: Diện tích lớn nhất của mảnh đất trồng hoa là m².

Một công ty cần vận chuyển hàng từ kho hàng đến trung tâm phân phối . Trên bản đồ, hai điểm và nằm cùng phía đối với tuyến đường thẳng . Biết khoảng cách từ kho hàng đến tuyến đường là , khoảng cách từ trung tâm phân phối đến tuyến đường là , độ dài bằng . Công ty dự định xây dựng lộ trình cho xe vận chuyển đi theo đường gấp khúc , trong đó thuộc đoạn (như hình vẽ). Tốc độ trung bình của xe trên các đoạn lần lượt là và . Hãy xác định vị trí các điểm trên đoạn sao cho thời gian di chuyển từ đến là nhỏ nhất.

Đáp án: 10.1 , 10.2 .