Bài tập nâng cao chương V - phần 2

Một chiếc gương có dạng hình tròn được treo trên tường bằng hai sợi dây và không giãn, mỗi sợi dây đều tiếp xúc với gương tại các điểm (như hình minh họa). Biết tổng độ dài hai dây treo là và góc giữa hai sợi dây là . Tính diện tích phần tường giới hạn bởi hai dây và cung nhỏ của gương (đơn vị , và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại và một đường thẳng tiếp xúc với và lần lượt tại . Lấy là trung điểm của .

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Từ điểm nằm ngoài đường tròn bán kính , kẻ hai tiếp tuyến , với đường tròn (, là các tiếp điểm). Biết tam giác là tam giác đều và diện tích của tứ giác là . Tìm .

Đáp án:  .

Từ một tấm gỗ phẳng hình chữ nhật với các kích thước như Hình 1, người ta tạo ra hình ảnh của một chiếc xe ô tô như Hình 3, bằng cách thực hiện như sau:

+) Lấy làm tâm, cắt miếng gỗ theo cung tròn , với .

+) Khoét bỏ hai nửa hình tròn có đường kính bằng m và có tâm lần lượt nằm trên cạnh (như Hình 2).

Tính diện tích của phần gỗ còn lại (Hình 4). (Lấy . Tính theo đơn vị mét vuông và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Đáp án: .

Gia đình ông Minh muốn thiết kế tiểu cảnh cho khu vườn hình vuông cạnh 10 mét theo cách sau: xác định trung điểm của các cạnh , vẽ đường tròn đường kính và hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn đường kính tại (như hình vẽ). Tại bốn góc khu vườn, ông Minh lát gạch, phần không tô màu trồng cỏ và phần còn lại ông trồng hoa. Lấy .

a) Tính diện tích (mét vuông) phần lát gạch.

Đáp án: .

b) Biết mỗi mét vuông trồng cỏ chi phí hết 120 nghìn đồng, mỗi mét vuông trồng hoa chi phí hết 280 nghìn đồng. Tính tổng chi phí (nghìn đồng) của khu vườn trồng hoa và cỏ trong trường hợp diện tích trồng cỏ lớn nhất.

Đáp án: nghìn đồng.

Trên sân vận động, người ta tổ chức một cuộc thi chạy. Sân vận động dạng hình chữ nhật có kích thước . Ở chính giữa sân người ta vẽ một đường tròn có tâm trùng với tâm của hình chữ nhật, bán kính bằng như hình vẽ. Lấy là trung điểm của . Mỗi vận động viên cần xuất phát từ một điểm trên đường tròn và chạy theo cung đường: . Tính quãng đường ngắn nhất mà vận động viên cần chạy. (Kết quả được viết dưới dạng số thập phân với độ chính xác ).

Đáp án: .

Một vòng xuyến giao thông đầm hình tròn có bán kính 10 m. Người ta trang trí bên trong vòng xuyến năm hình tròn nhỏ bằng nhau, tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt trong vòng xuyến để trồng hoa; phần còn lại lát gạch (phần tô đậm) như hình vẽ bên dưới.
Diện tích phần lát gạch trong vòng xuyến là bao nhiêu mét vuông (lấy , kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Đáp án: .

Cho tam giác vuông tại , cạnh , . Đường tròn , đường kính cắt ở . Diện tích phần hình được tô màu là bao nhiêu ? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)

Cho hình vuông . Gọi là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính và , là diện tích phần còn lại của hình vuông nằm ngoài hai nửa đường tròn nêu trên (như Hình vẽ 1, là diện tích phần gạch chéo, là diện tích phần chấm). Trong miền chấm có diện tích người ta vẽ một hình tròn tiếp xúc với hai cạnh của hình vuông và tiếp xúc ngoài với hai nửa đường tròn đường kính , (như Hình vẽ 2). Biết , diện tích phần còn lại của ở ngoài miền hình tròn là