Ứng dụng hình học của tích phân (p2)

Ứng dụng hình học của tích phân (p2) by TAK12

Trong không gian Oxyz, vật thể (H) giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a và x = b với a < b. Gọi S(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x với a ≤ x ≤ b.

Giả sử hàm số S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, thể tích V của vật thể (H) được tính bởi công thức

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b; V là thể tích của khối tròn xoay tạo được khi quay (H) quanh trục Ox.

Khẳng định nào sau đây đúng?

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 0 và x = 1, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại hoành độ x (0 ≤ x ≤ 1) là một tam giác đều có cạnh bằng x.

Đáp án: V =

(Học sinh điền đáp án dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x, các đường thẳng x = 0, x = ln3 và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh trục hoành là

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường  và  quanh trục Ox bằng

Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường , trục hoành và x = 5. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi (D) quay quanh Ox.

Đáp án: V = π

Vật thể (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x - x² và trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi (H) khi nó quay quanh trục Ox.

Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -0,004x² + 40, trục Ox và hai đường thẳng x = -50, x = 50 quay quanh trục Ox. Tính thể tích của thùng rượu vang đó, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét.

Đáp án: V = cm³

(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Tính thể tích của một cái bát, biết phần trong của nó có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng  (như hình vẽ), bát có độ sâu 5 cm, đơn vị trên trục là centimét.

Đáp án: V = cm³

(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Giả sử chiếc nón rộng vành sau có thể mô hình hóa bằng cách cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng x = -1, x = 1 quay quanh trục Ox (đơn vị trên trục là centimét). Biết thể tích của chiếc nón là (cm³) với là phân số tối giản và . Tính a + b.

Đáp án: a + b = .