Tính chất ba đường cao của tam giác

Trực tâm của tam giác là

Cho tam giác ABC vuông tại B. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Điểm nào dưới đây là trực tâm của ?

Cho ∆ABC nhọn có H là trực tâm. 

Trực tâm của ∆HAB là điểm ACHB

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC), đường cao AH. Lấy điểm M thuộc đoạn HC, kẻ ME ⊥ AC (E ∈ AC). Gọi K là giao điểm của AH và ME.

Chứng minh: AM ⊥ KC

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

∆ABC có AH là đường cao nên 4.1ABAMAH ⊥ BC

Xét ∆AKC có

4.2CKCHCA ⊥ AK (4.3ABAHAM ⊥ BC)

KE ⊥ 4.4ACKCAK (giả thiết)

Do đó 4.5KH, CEKE, CHKC, KA là hai đường cao của ∆AKC.

Mà 4.6KEKAKC cắt CH tại 4.7CHM.

Suy ra 4.8EBMAC là trực tâm của ∆AKC.

Suy ra AM ⊥ KC (đpcm)

Chứng minh trong một tam giác đường cao đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

GT: Trong một tam giác đường cao đồng thời là đường trung trực

KL: Tam giác đó là tam giác cân.

Xét tam giác ABC có AH là đường cao đồng thời là đường trung trực. Hình vẽ.

Ta chứng minh cân (1)

Ta có AH là đường trung trực của 5.1

Suy ra AB = 5.2

Suy ra cân tại 5.3 

Vậy (1) được chứng minh.

Cho tam giác ABC có , H là trực tâm của tam giác ABC. Tính .

Đáp án: .

Cho ∆MNP nhọn, đường cao MH. Trên MH lấy điểm Q sao cho , gọi K là giao điểm của PQ và MN. Khẳng định nào dưới đây là sai?

Cho vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA.

Chứng minh BM vuông góc với AD.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có: BA = 8.1 (giả thiết)

Suy ra ∆BAD cân tại 8.2

Lại có 8.3 là đường phân giác của

Suy ra 8.4 đồng thời là 8.5trung tuyếnđường cao của ∆BAD

Do đó BM ⊥ AD (đpcm)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM. Chứng minh ba đường thẳng AK, BM, DH đồng quy.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Xét ∆9.1 có:

BM ⊥ 9.2;

9.3 ⊥ MD;

DH ⊥ 9.4AMADAK

Suy ra ba đường thẳng AK, BM, 9.5 là 3 đường cao của ∆9.6

Do đó ba đường thẳng AK, BM, DH đồng quy (đpcm)

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BE. Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho AF = AE. Gọi H là giao điểm của BE và CF.

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Xét và có:

AB = 10.1 (vì cân tại A)

chung

AE = 10.2 (gt)

Suy ra (c.g.c)

Suy ra (hai góc tương ứng)

Suy ra 10.3

Suy ra CF⊥ AB

Suy ra CF là đường cao trong

+) có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H

Suy ra 10.4 là trực tâm của

Suy ra AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A 

Suy ra (ĐPCM).