Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau

Cho hình vuông ABCD và nửa đường tròn đường kính AD. Vẽ cung AC có tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính AD ở K.

Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến AB.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Kẻ PI vuông góc với AB ⇒ PI // AD.

2) Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính 1.1)

3) Xét ∆ADP  có:

AD = 1.2 (bằng bán kính đường tròn tâm D bán kính AD)

Suy ra  ∆ADP cân tại 1.3

Suy ra (1)

4) Mặt khác: AD // 1.4 (theo 1))

Suy ra   (hai góc 1.5đồng vịso le trongtrong cùng phía)

Suy ra

5) Xét ∆APK và ∆API có:

1.6^o

Chung cạnh 1.7

Suy ra  ∆APK = ∆API (ch-gn)

Suy ra PK = PI (hai cạnh tương ứng). (đpcm)

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AD, BC. 

Chứng minh: BE = DF

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

(Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản nếu số không nguyên. VD: 1/2 hoặc -1/2)

Ta có: DE = 2.1 AD;  BF = 2.2 BC

Mà AD = 2.3 (hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)

Suy ra DE = 2.4

Mặt khác: DE // BF

Suy ra tứ giác EBFD là 2.5hình thoihình thanghình bình hành

Suy ra BE = DF. (đpcm) 

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có .

Chứng minh: AD = BC

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

 Gọi E là giao điểm của AC và BD.

1) Xét ∆ECD có   góc 3.1 (do )

⇒ ∆ECD cân tại 3.2

⇒ ED = 3.3 (1)

2) Ta có: AB // CD nên

(hai góc so le trong)

(hai góc so le trong)

Suy ra

Suy ra ∆EAB cân tại 3.4

⇒ EA = 3.5 (2)

3) Từ (1) và (2) suy ra AC = 3.6

Suy ra hình thang ABCD là hình thang cân

⇒ AD = BC. (đpcm)

Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự tại M, N.

Chứng minh DM = NB

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Xét tứ giác AICK có:

AK // 4.1 và AK = 4.2

Suy ra tứ giác AICK là hình bình hành.

⇒ AI // 4.3

+) Xét ∆DCN có:

ID = 4.4 và IM // 4.5

 ⇒ DM = 4.6 (1)

3) Xét ∆BAM có: BK = 4.7 và KN // AM

 ⇒ NB = 4.8 (2)

Từ (1) và (2) suy ra DM = NB. (đpcm)

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường kính AC và AD của (O) và (O'). Tia CA cắt đường tròn (O') tại F, tia DA cắt đường tròn (O) tại E. 

Chứng minh:

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

 Ta có:

5.1^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

⇒ ∆CED vuông tại E

⇒ ∆CED nội tiếp đường tròn đường kính 5.2 (1)

5.3^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O'))

⇒ ∆CFD vuông tại F

⇒ ∆CFD nội tiếp đường tròn đường kính 5.4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CEFD nội tiếp

 ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung 5.5. (đpcm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc cung nhỏ AC. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, MI vuông góc với AC tại I.

Chứng minh:

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

6.1^o (do MI ⊥ AC)

⇒ ∆MIC vuông tại 6.2

⇒ ∆MIC nội tiếp đường tròn đường kính 6.3 (1)

6.4^o (do MH ⊥ BC)

⇒ ∆MHC vuông tại 6.5

⇒ ∆MHC nội tiếp đường tròn đường kính MC (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác IMCH nội tiếp.

(hai góc nội tiếp cùng nhìn cạnh 6.6). (đpcm)

Cho hình vuông ABCD cố định, E là điểm di động trên cạnh CD (khác C và D). Tia AE cắt đường thẳng BC tại F. Tia Ax vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng DC tại K. BD cắt KF tại I.

Chứng minh:

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

7.1^o (do AK vuông góc với AF)

⇒ ∆KAF vuông tại 7.2

⇒ ∆KAF nội tiếp đường tròn đường kính 7.3 (1)

7.4^o  (do ABCD là hình vuông)

⇒ ∆KCF vuông tại 7.5

⇒ ∆KCF nội tiếp đường tròn đường kính 7.6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ACFK nội tiếp

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 7.7). (đpcm)

Chứng minh: Tam giác KAF vuông cân.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Tứ giác ACFK nội tiếp nên ta có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 8.1)

Mà  8.2^o (do ABCD là hình vuông)

Suy ra  8.3^o

Xét ∆KAF vuông tại A, ta có: 

8.4^o (cmt)

8.5^o 

Do đó ∆KAF vuông cân tại 8.6. (đpcm)

Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC và E là hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng AO. M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB. 

Chứng minh: và .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

+) AH ⊥ BC (gt) ⇒ = 9.1°

⇒ ∆AHB vuông tại 9.2

⇒ ∆AHB nội tiếp đường tròn đường kính 9.3 (1)

+) BE ⊥ AO (gt) ⇒  = 9.4°

⇒ ∆AEB vuông tại 9.5

⇒ ∆AEB nội tiếp đường tròn đường kính 9.6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, B, 9.7, E cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABHE nội tiếp.

9.8° (hai góc đối nhau trong tứ giác nội tiếp)

Mà 9.9° (hai góc kề bù)

. (đpcm)

Lại có: 

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 9.10)

Mà hai góc này ở vị trí 9.11so le trongđồng vị

. (đpcm)

Chứng minh: và .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Phần 1. Chứng minh NE = NH:

+) Xét ∆AEB vuông tại E có 10.1 là đường trung tuyến

⇒ 10.2 = NA = NB (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (3)

+) Xét ∆AHB vuông tại H có 10.3 là đường trung tuyến

⇒ NH = NA = 10.4 (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (4)

Từ (3) và (4) suy ra NE = 10.5.

Phần 2. Chứng minh ME = MH:

+) Xét ∆ABC có 10.6, 10.7 lần lượt là trung điểm của cạnh BC, BA

⇒ 10.8 là đường trung bình của ∆ABC

⇒ 10.9 // AC (5)

+) Lại có HE // CD (cmt)

Mà = 10.10° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên  AC ⊥ CD

⇒ HE ⊥ 10.11 (6)

Từ (5) và (6) suy ra HE ⊥ 10.12

Mà N thuộc đường trung trực của 10.13 (do NH = NE (cmt))

⇒ MN là đường trung trực của 10.14

⇒ ME = MH. (đpcm)