Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường đồng quy

4/11/2025 4:12:00 PM

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H).

Chứng minh: Ba điểm D, A, E thẳng hàng

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

+) là phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+) là tia phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

 

Lại có:

. 90o = o 

Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng (đpcm)

Cho tam giác ABC với hai trung tuyến BD và CE. Gọi M, N theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia EC và DB sao cho EC = EM và DB = DN. 

Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Xét tứ giác AMBC có:

EA = (gt)

EM = (gt)

Suy ra tứ giác AMBC là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

AM // (1) 

Chứng minh tương tự ta được: AN // (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3 điểm A, M, N thẳng hàng. (đpcm)

Đường tròn tâm O và đường tròn tâm O’ cắt nhau tại A và B. BC là đường kính đường tròn tâm O, BD là đường kính đường tròn tâm O’.

Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

BC là đường kính của đường tròn tâm O

o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

BD là đường kính của đường tròn tâm O'

o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra  o + o = o 

Suy ra 3 điểm C, A, D thẳng hàng (đpcm)

Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến CBA (B nằm giữa C và A). Gọi IJ là đường kính vuông góc với AB . Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại M, N. 

Chứng minh 3 đường AB, IN, JM đồng quy tại D.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

+) o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+) o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

có 3 đường cao CA, JM, IN đồng quy tại

Hay AB, JM, IN đồng quy tại D (đpcm)

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, I và N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và CD. 

Chứng minh Nếu   thì M, I, N thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Giả sử   

1) Xét có MA = MB, IA =  

là đường trung bình của

MI // BC và MI = BC (Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản. VD: 1/2)

Chứng minh tương tự ta có: IN // AD và IN = AD (Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản. VD: 1/2)

2) Mà

                    = AD + BC (Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản. VD: 1/2)

                   = MI + NI 

Suy ra I nằm giữa M, N hay M, I, N thẳng hàng (đpcm)

Cho nửa đường đường tròn (O; R), đường kính AB. Một điểm M cố định thuộc đoạn thẳng OB (M khác B và M khác O). Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt nửa đường tròn đã cho tại N. Trên cung NB lấy điểm E bất kì (E khác B và E khác N). Tia BE cắt đường thẳng d tại C, đường thẳng AC cắt nửa đường tròn tại D. Gọi H là giao điểm của AE và đường thẳng d.

Chứng minh: Ba điểm B, D, H thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

+) o   (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+)  o   (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét có AE, CM và BD là các đường cao 

Mà H là giao của AE và CM 

là trực tâm của

thuộc BD

Ba điểm B, H, D thẳng hàng. (đpcm)

Cho đường tròn (O; R) có dây BC. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở A. Kẻ OH vuông góc với BC tại H.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh ba điểm O, H, A thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có :

+) cân tại (do OB = OC = R) có OH là đường cao

Suy ra OH đồng thời là phân giác của

OH là phân giác của góc (1) 

+) OA là phân giác của góc (2) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm O, H, A thẳng hàng. (đpcm)

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N.

Chứng minh: Ba đường thẳng AC, BD và ON đồng quy.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Gọi I là giao điểm của AC và BD (1)

Vì ABCD là hình bình hành suy ra là trung điểm của AC

2) ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O)

⇒ OA ⊥

Vì ABCD là hình bình hành nên AD //

⇒ OA ⊥ AD tại A

Suy ra đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O)

3) Tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến AD tại N

⇒ AN = NC và   là phân giác của

Xét ∆ANC cân tại N (do AN = NC), có là phân giác của

Suy ra NO vừa là phân giác vừa là trung tuyến của ∆ANC

⇒ NO cắt AC tại trung điểm I của AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ON, AC và BD cùng đi qua trung điểm I của AC (đpcm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O).

Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Giả sử BA cắt CD tại K

1) Ta có:

+) o  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 

+) o  (gt)

có CA và BD là các đường cao

Mà CA và BD giao nhau tại

là trực tâm của

(1)

2) Ta có: o  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm K, M, E thẳng hàng.

Suy ra ba đường BA, EM, CD đồng quy tại (đpcm)

Cho đường tròn (O), đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn (O'), đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB; DC cắt đường tròn (O') tại I.

Chứng minh: Ba điểm I, B, E thẳng hàng

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Ta có:

+) o (1) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+)   o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

o (kề bù)

⇒ ∆BDI vuông tại I, ta có: 

o (2)

Từ (1) và (2) suy ra  (3)

2) Xét tứ giác ADBE có:

M là trung điểm của AB

M là trung điểm của   (∆ODE cân tại O (OE = OD) có OM là đường cao nên OM cũng là đường trung tuyến)

Suy ra tứ giác ADBE là hình bình hành 

o  (4)

Từ (3) và (4) suy ra    o 

Suy ra 3 điểm B, I, E thẳng hàng (đpcm).