Mô hình hai tiếp tuyến cắt nhau

Cho (O; R), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

Chứng minh: Bốn điểm A, C, O, B cùng thuộc một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Gọi I là trung điểm AO.

+) Xét tam giác ACO vuông tại 1.1 (do CA là tiếp tuyến) có 1.2 là đường trung tuyến nên:

Khi đó 3 điểm A, C, O cùng thuộc đường tròn tâm 1.3  (1)

+) Xét tam giác ABO vuông tại 1.4 (do AB là tiếp tuyến) có 1.5 là đường trung tuyến nên:

Khi đó 3 điểm A, B, O cùng thuộc đường tròn tâm 1.6  (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, C, O, B cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

Giả sử . Tính số đo .

Đáp án:  ^o.

Chứng minh: AO là đường trung trực của CB.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

AC = 3.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ A thuộc đường trung trực của 3.2 (1)

OC = 3.3 (= R)

⇒ O thuộc đường trung trực của 3.4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của CB. (đpcm)

Gọi E là giao điểm của CB và AO.

Chứng minh: OA.OE = R².

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

4.1 là đường trung trực của CB (ý trước)

Xét ∆ACO và ∆CEO có:

4.2°

chung

4.3(g.g.g)(g.g)(g.c.g)

(hai cặp cạnh tương ứng)

4.4² 

Mà nên . (đpcm)

Trên cung nhỏ BC của đường tròn lấy điểm K bất kì (khác B và C), kẻ tiếp tuyến tại K cắt AB, AC lần lượt ở P và Q.

Chứng minh: Chu vi tam giác APQ không đổi khi K thay di chuyển trên cung BC.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

QC = 5.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

PB = 5.2 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chu vi tam giác APQ là:

AP + PQ + 5.3 

= AP + (PK + KQ) + 5.4 

= AP + PB + QC + 5.5 

= AB + 5.6 

Mà A, B, C không đổi nên chu vi tam giác APQ không đổi. (đpcm)

Qua A kẻ đường thẳng cắt (O) tại hai điểm M và N (M nằm giữa A và N). Gọi H là trung điểm của MN.

Chứng minh: 5 điểm A, B, C, O, H cùng thuộc một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Ta có:

6.1

6.2

⇒ ∆ACO vuông tại 6.3 và ∆ABO vuông tại 6.4

⇒ ∆ACO và ∆ABO cùng nội tiếp đường tròn đường kính 6.5

⇒ 4 điểm A, B, 6.6, C cùng thuộc một đường tròn.

2) ∆OMN cân tại 6.7 (OM = ON = R) có:

OH là đường 6.8trung trựctrung tuyếnphân giác (H là trung điểm của MN)

⇒ OH đồng thời là đường cao

tại 6.9

6.10°

Ta có: 6.11°; 6.12°

⇒ ∆ACO vuông tại 6.13 và ∆AHO vuông tại 6.14

⇒ ∆ACO và ∆AHO cùng nội tiếp đường tròn đường kính 6.15

⇒ A, 6.16, O, C cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, B, C, H, O cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

Chứng minh:

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Ta có ∆OBM cân tại O (OB = OM = R) nên:

Mà 7.1 (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 7.2)

7.3° -

7.4°

2) Xét và có 

chung

7.5 (g.g)

(hai cặp cạnh tương ứng)

7.6² (3)

3) Xét ∆ABO và ∆AEB có:

chung

7.7°

(hai cặp cạnh tương ứng)

7.8²  (4)

Từ (3) và (4) suy ra . (đpcm)

Gọi T là giao điểm của CB với AN.

Chứng minh: Tích AT.AH không phụ thuộc vào vị trí của M và N.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Xét và có:

chung

= 8.1°

8.2 (g.g)

(cặp cạnh tương ứng)

AH.8.3 = AE.8.4

Mà AE. 8.5 không đổi (do A, E, O cố định)

không đổi

không phụ thuộc vào vị trí của M và N. (đpcm)

Giả sử đường tròn tâm O có bán kính bằng 10 cm. Diện tích tam giác MON lớn nhất bằng bao nhiêu?

Đáp án: Diện tích tam giác MON lớn nhất bằng cm².

Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA > 2R, vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là tiếp điểm), kẻ dây BD song song với AC. Đường thẳng AD cắt (O; R) tại điểm E (E ≠ D). Gọi I là trung điểm của DE.

a) Chứng minh: 4 điểm O, I, B, A cùng thuộc một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Gọi là trung điểm của .

Do là tiếp tuyến của nên 10.1 tại

vuông tại 10.2

Mà là đường trung tuyến ( là trung điểm của )

3 điểm 10.3 cùng thuộc đường tròn đường kính   (1)

+) Ta có (hai bán kính của ) nên cân tại 10.4

Mà 10.5 là đường trung tuyến ( là trung điểm của )

10.6 cũng là đường cao

10.7

+) Xét vuông tại 10.8, có là đường trung tuyến

3 điểm O, A, 10.9 cùng thuộc đường tròn đường kính   (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

b) Đường thẳng cắt lần lượt tại và . Gọi là giao điểm của và .

Chứng minh: và .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Phần 1: Chứng minh .

+) Ta có 11.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

điểm 11.2 thuộc đường trung trực của    (3)

Lại có (hai bán kính của )

điểm 11.3 thuộc đường trung trực của    (4)

Từ (3) và (4) suy ra 11.4 là đường trung trực của

11.5 tại .

+) Xét và có:

là góc chung

11.6 (g.g)

11.7. (đpcm)

Phần 2: Chứng minh .

+) Do 11.8 (gt) nên (hai góc 11.9so le trongđồng vị)  (5)

+) Ta có (hai bán kính của (O))

cân tại 11.10

Lại có 11.11 (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 11.12)

11.13°

 11.14°  (6)

Từ (5) và (6) suy ra .

+) Xét và có:

là góc chung

11.15 (g.g). (đpcm)

c) Gọi G là giao điểm của AB và CD. Chứng minh 3 điểm G, K, F thẳng hàng.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước giải dưới đây theo trình tự phù hợp: 

Gọi P là giao điểm của BD và FK; Q là giao điểm của FG và BD. 

Bước 1: 12.1C/m Q là trung điểm của BDC/m AF = CFC/m P là trung điểm của BD

Bước 2: 12.2C/m P là trung điểm của BDC/m Q là trung điểm của BDC/m AF = CF

Bước 3: 12.3C/m AF = CFC/m P là trung điểm của BDC/m Q là trung điểm của BD

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c) Ở câu trước, em đã biết trình tự các bước để chứng minh 3 điểm G, K, F thẳng hàng. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:

Gọi P là giao điểm của BD và FK; Q là giao điểm của BD và FG. Ta chứng minh P ≡ Q.

Bước 1: Chứng minh AF = CF

+) Ta có OE = OC (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OCE cân tại 13.1

Lại có  (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 13.2)

⇒ = 13.3°

+) Xét ∆FCE và ∆FBC có:

là góc chung

⇒ ∆CFE ᔕ ∆13.4 (g.g)

⇒ FC² = FB. 13.5 (7)

+) Ta có ∆AFE ᔕ ∆BFA (theo ý b)

⇒ FA² = 13.6.FB (8)

Từ (7) và (8) suy ra FA = 13.7

Bước 2: Chứng minh Q là trung điểm của BD

+) Xét ∆GQB và ∆GFA có:

(hai góc đồng vị từ BD // AC)

là góc chung

⇒ ∆GQB ᔕ ∆13.8 (g.g)

+) Xét ∆GQD và ∆GFC có:

(hai góc đồng vị từ BD // AC)

là góc chung

⇒ ∆GQD ᔕ ∆13.9 (g.g)

Từ (9) và (10) suy ra  

Mà AF = 13.10 (cmt)

⇒ 13.11 = DQ

⇒ Q là trung điểm của BD (*)

Bước 3: Chứng minh P là trung điểm của BD, từ đó suy ra G, K, F thẳng hàng.

+) Xét ∆PKB và ∆CKF có:

(hai góc đối đỉnh)

  (hai góc so le trong từ BD // AC)

⇒ ∆PKB ᔕ ∆13.12 (g.g)

+) Xét ∆PKD và ∆FKA có:

(hai góc đối đỉnh)

 (hai góc 13.13so le trongđồng vị từ BD // AC)

⇒ ∆PKD ᔕ ∆13.14 (g.g)

Từ (11) và (12) suy ra

Mà AF = CF (cmt)

⇒ 13.15 = PD

⇒ P là trung điểm của BD (**)

Từ (*) và (**) suy ra P ≡ Q

Do đó FK ≡ FG hay 3 điểm G, K, F thẳng hàng (đpcm).