Mô hình tam giác nội tiếp đường tròn

Cho ∆ ABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC). Đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

1.1

⇒ ∆BFC vuông tại 1.2 và ∆BEC vuông tại 1.3

⇒ ∆BFC và ∆BEC cùng nội tiếp đường tròn đường kính 1.4

⇒ 4 điểm B, F, 1.5, C cùng thuộc một đường tròn

Hay tứ giác BCEF nội tiếp. (đpcm)

Chứng minh  AO vuông góc với EF.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Kẻ tiếp tuyến xy của đường tròn tại A

(1)

Có ∆OAC cân tại O (OA = OC = R)

Mà 2.1 (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

2.2° 

  2.3°  (2)

Lại có tứ giác BCEF nội tiếp (cmt) nên:

2.4° (hai góc đối nhau)

Mà 2.5° (hai góc kề bù)

 (3)

Từ (2) và (3) suy ra

 Mà hai góc này ở vị trí 2.6so le trongđồng vị

(4) 

Từ (1) và (4) suy ra (đpcm)

Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại I cắt đường tròn tại K.

Chứng minh AK là tia phân giác của góc BAC.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

(O) có dây BC, tại 3.1; 

∆OBC cân tại 3.2 (OB = OC = R) có OI là đường cao

đồng thời là đường trung trực của 3.3

Mà

Suy ra 3.4 (tính chất đường trung trực)

là tia phân giác của (đpcm)

Chứng minh H, I M thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Tứ giác BHCM là hình bình hành (ý trước)

Đường chéo BC và 4.1

đi qua trung điểm của BC

Mà 4.2 là trung điểm của BC

đi qua 4.3

thẳng hàng (ĐPCM)

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Gọi N là giao điểm của AH với BC

Vì H là giao điểm của 2 đường cao BE và CF trong tam giác ABC

H là trực tâm của tam giác ABC

5.1

Có  5.2 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

2) Xét và có

(= 5.3)

(cùng chắn cung 5.4

5.5 (g.g)

(hai góc tương ứng)

Hay (ĐPCM)

Gọi D là giao điểm của AH với (O).

Chứng minh N là trung điểm của đoạn thẳng HD.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Ta có:

∆BFH vuông tại 6.1 và ∆BNH vuông tại 6.2

⇒ ∆BFH và ∆BNH cùng nội tiếp đường tròn đường kính BH

⇒ 4 điểm B, F, H, 6.3 cùng thuộc một đường tròn

Hay tứ giác BFHN nội tiếp

6.4° (hai góc đối nhau)

Mà 6.5° (hai góc kề bù)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 6.6)

cân tại 6.7

Mà

là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

là trung điểm của đoạn thẳng HD (ĐPCM)

Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFN.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Tứ giác FHNB nội tiếp (ý trước) suy ra:

(cùng nhìn cạnh 7.1) (1)

Và (cùng nhìn cạnh 7.2) (2)

2) Tứ giác ENBA có:

7.3 

7.4

7.5

Mà hai góc này có đỉnh kề nhau, cùng nhìn cạnh AB

Tứ giác ENBA nội tiếp

(cùng nhìn cạnh 7.6) (3)

3) Từ (1), (3) suy ra

là tia phân giác của

4) Tứ giác EFBC nội tiếp (ý trước) suy ra 

 (cùng nhìn cạnh 7.7) (4)

5) Từ (2) và (4) suy ra

là tia phân giác của

6) Tam giác EFN có 2 phân giác NA và FC cắt nhau tại H

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFN.

Chứng minh 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC.

Xét ∆ BEC vuông tại 8.1 có EI là đường trung tuyến nên:

Suy ra 3 điểm B, E, C cùng thuộc một đường tròn tâm I đường kính BC. (1)

Xét ∆ BFC vuông tại 8.2 có FI là đường trung tuyến nên:

Suy ra 3 điểm B, F, C cùng thuộc một đường tròn tâm I đường kính BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn. (ĐPCM)

Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

9.1

9.2

⇒ ∆AFH vuông tại 9.3 và ∆AEH vuông tại 9.4

⇒ ∆AFH và ∆AEH cùng nội tiếp đường tròn đường kính 9.5

⇒ 4 điểm A, 9.6, E, H cùng thuộc một đường tròn

Hay tứ giác AFHE nội tiếp. (đpcm)

Kẻ đường kính AM của đường tròn.

Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Có 10.1^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AC ⊥ 10.2

Mà AC ⊥ BE nên BE // 10.3

2) Có 10.4^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AB ⊥ 10.5

Mà AB ⊥ CF nên CF // 10.6

3) Tứ giác BHCM có 

BH // 10.7

CH // 10.8

Suy ra tứ giác BHCM là hình bình hành (ĐPCM)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và BC cắt HM tại I. Hãy sắp xếp các bước chứng minh H, G, O thẳng hàng.

Bước 1: 11.1Chứng minh G ∈ HOChứng minh 3AG = 2AIChứng minh G là trọng tâm ∆ AHM

Bước 2: 11.2Chứng minh G là trọng tâm ∆ AHMChứng minh 3AG = 2AIChứng minh G ∈ HO

Bước 3: 11.3Chứng minh G ∈ HOChứng minh G là trọng tâm ∆ AHMChứng minh 3AG = 2AI

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Chứng minh G là trọng tâm tam giác AHM.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) có đường trung tuyến AI (Do I là trung điểm của 12.1 và G là trọng tâm

2) Tứ giác BHCM là hình bình hành

Đường chéo BC và HM cắt nhau tại 12.2

 12.3 là trung điểm của HM 

là đường trung tuyến trong tam giác AHM

Mà

là trọng tâm tam giác AHM (ĐPCM)

Chứng minh H, G, O thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Bước 1: Chứng minh 3AG = 2AI

Hình bình hành BHCM có HM giao BC tại I nên I là trung điểm của HM và BC.

Do ∆ ABC có đường trung tuyến AI (Do I là trung điểm của 13.1 và G là trọng tâm ∆ ABC)

Bước 2: Chứng minh G là trọng tâm ∆ AHM.

Do 13.2 là trung điểm của HM 

Suy ra 13.3 là đường trung tuyến trong tam giác AHM

Mà

Suy ra G là trọng tâm tam giác AHM 

Bước 3: Chứng minh H, G, O thẳng hàng.

Ta có ∆ AHM có đường trung tuyến HO (vì 13.4 là trung điểm của AM)

Mà 13.5 là trọng tâm ∆ AHM

Suy ra 13.6 ∈ HO

Suy ra H, G, O thẳng hàng (ĐPCM)

Chứng minh H, G, O thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) có đường trung tuyến HO (vì 14.1 là trung điểm của AM)

Mà 14.2 là trọng tâm

Suy ra 14.3

Suy ra H, G, O thẳng hàng (ĐPCM)