Một số bài toán tổng hợp

Cho đường tròn (O; R) và dây AB sao cho . M, N lần lượt là các điểm thuộc cung lớn AB và cung nhỏ AB (M, N khác A và B).

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

b) Tính số đo các góc  và .

Trả lời: = 2.1°; = 2.2°.

Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Kẻ tia $Ax$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$. Trên tia $Ax$ lấy điểm $C$ sao cho $CA>R$. Kẻ tiếp tuyến $CD$ của $(O)$ ($D$ là tiếp điểm, $D$ khác $A$). Đường thẳng $CB$ cắt $(O)$ tại điểm $M$ ($M$ khác $B$).

a) Chứng minh tứ giác $ACDO$ nội tiếp đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

Góc OAC = 3.1° (AC là tiếp tuyến của (O) tại 3.2)

Góc ODC = 3.3° (DC là tiếp tuyến của (O) tại 3.4)

+) Gọi S là trung điểm của OC suy ra 3.5 = SC = 3.6OC (1)

+) Xét tam giác OAC vuông tại A có 3.7 là đường trung tuyến

⇒ SA = 3.8OC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

+) Xét tam giác ODC vuông tại D có 3.9 là đường trung tuyến

⇒ SD = 3.10OC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ SO = SA = 3.11 = SD = 3.12OC

Vậy tứ giác ACDO nội tiếp. (đpcm)

b) Chứng minh hai đường thẳng $BD$ và $OC$ song song với nhau.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

+) Ta có:

CA = 4.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OA = OD = R

⇒ OC là đường trung trực của 4.2

⇒ OC ⊥ 4.3  (3)

+) Lại có góc ADB = 4.4° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AD ⊥ 4.5  (4)

Từ (3) và (4) suy ra OC // BD. (đpcm)

c) Gọi P là giao điểm của AD và CO. Khi , tính độ dài đoạn thẳng MD theo R.

(Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, chỉ làm tròn sau bước tính cuối cùng).

Trả lời: MD ≈ R.

Cho tam giác vuông tại () có là đường cao. Lần lượt vẽ đường tròn đường kính và đường tròn đường kính . Đường tròn cắt tại , đường tròn cắt tại . Đường trung tuyến của tam giác cắt tại .

a) Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có 6.1° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra 6.2 tại và 6.3 tại . 

Suy ra 6.4°.

Tứ giác có  6.5° 

Suy ra là hình chữ nhật. (đpcm)

b) Chứng minh là tiếp tuyến chung của đường tròn và .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Vì tứ giác là hình chữ nhật nên nội tiếp một đường tròn

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 7.1)

+) Ta có nên cân tại 7.2

góc 7.3  (1)

+) Lại có:  7.4 (cmt) và (gt)

Nên 7.5

(hai góc 7.6đồng vịtrong cùng phíaso le trong)  (2)

+) Từ (1) và (2)  góc 7.7. Do đó:

7.8° ( vuông tại 7.9)

7.10 tại ()

Vậy là tiếp tuyến của đường tròn   (3)

+) Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có 7.11°

7.12 tại ()

Vậy là tiếp tuyến của đường tròn   (4)

Từ (3) và (4) suy ra là tiếp tuyến chung của đường tròn và . (đpcm)

c) Cho biết , . Tính diện tích tam giác . (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, chỉ làm tròn sau bước tính cuối cùng)

Trả lời: . 

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ đường kính AK của (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành và .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Ta có: 9.1 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay AB ⊥ 9.2.

Mà AB ⊥ CH, suy ra 9.3 // CH (1)

Chứng minh tương tự, ta có BH // 9.4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là 9.5hình thoihình chữ nhậthình bình hành. (đpcm)

+)  Xét và có:

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 9.6)

9.7

9.8 (g.g)

Khi đó:

. (đpcm)

b) Gọi M là trung điểm của BC, T là điểm đối xứng với O qua M. Tính độ dài đoạn thẳng TB và AH² + BC² theo R.

Trả lời: TB = 10.1R; AH² + BC² = 10.2R².

c) Biết . Tính R. (Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án: R = .