Đề thi chính thức vào 10 môn Toán Sở Phú Thọ năm 2022

Kết quả rút gọn của biểu thức  bằng

Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất?

Biểu thức của phương trình bằng

Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số ?

Gọi x₁ ; x₂ là hai nghiệm của phương trình . Tích x₁x₂ bằng

Giá trị của m để đường thẳng  song song với đường thẳng  là

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết AB = 21, AC = 20. Độ dài AH bằng

Cho m, n là các số thực, biết hệ phương trình có nghiệm . Giá trị của n là

Để đo chiều cao AB của tượng phật Bồ tát tại chùa Linh Ứng (Bãi Bụt - Sơn Trà - Thành phố Đà Nẵng) bằng ánh nắng mặt trời, người ta dùng một chiếc cọc CD cao 2 m đặt thẳng đứng. Khi bóng của điểm B và D trên mặt đất trùng nhau tại vị trí điểm E (minh họa bằng hình vẽ), người ta đo được CE = 0,4 m; CA = 13 m. Chiều cao của tượng phật Bồ tát bằng

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ tiếp tuyến MN (N là tiếp điểm) và cát tuyến MAB qua tâm (O) (tham khảo hình vẽ). Biết MN = 12, MA = 8.

Chu vi của (O) bằng

Với , cho biểu thức .

Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9.

Đáp án: P = khi x = 9.

Rút gọn biểu thức P.

Tìm x để P = 2.

Đáp án: Với giá trị x = thì P = 2.

Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): .

Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; -5).

Đáp án: Với m = thì đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; -5).

Chứng minh với mọi đường thẳng d  luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có:

Ta có:

0

Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Đường thẳng d luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.

Giả sử A(x_A ; y_A), B(x_B , y_B), tìm m để .

Đáp án: m = 16.1 hoặc m = 16.2 (Chú ý: Viết đáp án theo thứ tự tăng dần).

Cho đường tròn (O, R) có đường kính AB. Gọi C là điểm bất kì trên đường tròn (O) (C không trùng với A, B). Tiếp tuyến tại C của (O) cắt các tiếp tuyến tại A, B của (O) lần lượt tại P và Q. Gọi E là giao điểm của OP và AC, F là giao điểm của OQ và BC.

Chứng minh rằng tứ giác OAPC nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1. Ta có:

AP là tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt) 17.1 (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)

CP là tiếp tuyến của đường tròn (O) 17.2 (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)

2. Tứ giác OAPC có: 17.3 mà hai góc này đối nhau.

=> OAPC là tứ giác nội tiếp (DHNB)

Chứng minh rằng tam giác OPQ vuông.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1. Ta có:

AP và CP là tiếp tuyến của đường tròn (O) => 18.1 là phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

BQ và CQ là tiếp tuyến của đường tròn (O) => 18.2 là phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

2. Ta có:

18.3 (hai góc kề bù)

3. Tam giác OPQ có: vuông tại O (ĐPCM).

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1. vuông tại O, đường cao 19.1 suy ra  

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có:

+) AP và CP là tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt) => AP = CP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) => P thuộc trung trực của 19.2.

Lại có OA = OC = R => O thuộc trung trực của 19.3.

=> OP là đường trung trực của đoạn AC.

tại 19.4.

19.5.

2. BQ và CQ là tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt) => CQ = BQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) => Q thuộc trung trực của 19.6.

Lại có OB = OC = R => O thuộc trung trực của 19.7.

=> OQ là đường trung trực của đoạn BC.

tại 19.8.

19.9.

3. Tứ giác CEOF có:

=> CEOF là hình chữ nhật (DHNB)

=> CO = EF (tính chất của hình chữ nhật)

ta có:

(ĐPCM)

Chứng minh rằng điểm C nằm chính giữa cung AB trên đường tròn (O) thì bán kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF nhỏ nhất. Tính r theo R.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF.

Gọi , M là trung điểm của PQ.

Vì OECF là hình chữ nhật (cmt) => 20.1 là trung điểm của EF.

Mà J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF .

2. Xét tứ giác APQB có: (từ vuông góc đến song song).

APQB là hình thang (DHNB).

3. OM là đường trung bình của hình thang APQB (do O, M lần lượt là trung điểm của AB và PQ).

mà 20.2.

Lại có

OP là trung trực của AC (cmt), E là trung điểm của 20.3.

OQ là trung trực của BC (cmt), F là trung điểm của 20.4.

20.5 là đường trung bình của tam giác ABC .

4. Ta có:

(từ vuông góc đến song song) (1)

5.Xét tứ giác PEFQ có

• (tính chất đường trung tuyến)
• (cùng phụ góc )
• (so le trong)

Tứ giác PEFQ nội tiếp đường tròn tâm (J) (tứ giác có góc ngoài tại đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)

 Vì M là trung điểm của PQ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

6. Ta có:  (từ vuông góc tới song song) (2)

Từ (1) và (2) IJMO là hình bình hành (DHNB)

.

7. Áp dung định lí Pytago trong tam giác vuông JPM có:

.

Dấu "=" xảy ra C là điểm chính giữa cung 20.6. (ĐPCM)

Vậy khi C nằm chính giữa cung AB thì bán kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF nhỏ nhất và .

Giải hệ phương trình: .