Đề thi chính thức vào 10 môn Toán Sở Hải Dương năm 2023

Giải phương trình .

Đáp án: Phương trình có nghiệm x = .

Giải hệ phương trình .

Đáp án: Hệ phương trình có nghiệm x = 2.1, y = 2.2.

Rút gọn biểu thức:  với .

Cho đường thẳng (d): y = ax + b. Tìm a và b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d'): y = 5x + 3 và đi qua điểm A(1; 3).

Đáp án: a = 4.1, b = 4.2

Một đội công nhân phải trồng 96 cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân nhưng khi chuẩn bị trồng thì có 4 công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4 cây. Hỏi lúc đầu đội công nhân có bao nhiêu người ?

Đáp án: Lúc đầu, đội công nhân có người.

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 3x + m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn x₁ + 2x₂ = m + 3.

Đáp án: m₁ = 6.1, m₂ = 6.2 (biết m₁ < m₂).

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H.

1, Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Do BD, CE là các đường cao của tam giác ABC nên  7.1

2, Xét tứ giác ADHE có:   7.2 + 7.3 = 7.4

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp 

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 7.5 (đpcm).

2, Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh tứ giác MDOE nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Do tứ giác ADHE nội tiếp mà  8.1 nên AH là đường kính

2, Do M là trung điểm đường kính AH nên M là tâm đường tròn đi qua A, E, H, D

(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 8.2) (1)

3, Xét tứ giác BEDC có:  8.3 (do BD, CE là đường cao)

Mà E, D là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn BC dưới 2 góc bằng nhau nên B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn đường kính 8.4

Mà O là trung điểm BC nên O là tâm đường tròn đi qua B, E, D, C

(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 8.5) (2)

4, Từ (1) và (2) suy ra:

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện của tứ giác MEOD 

MEOD là tứ giác nội tiếp (đpcm).

3, Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh AH² = 2MK(AF + HF).

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Do M là trung điểm của AH nên AH = 2HM

2, Ta có: AF + HF = AH + HF + HF = AH + 2HF = 2MH + 2HF = 2(MH + HF) = 2MF

2MK.(AF + HF) = 2MK. 2MF = 4MK. MF (3) 

3, Do M là tâm đường tròn đi qua A, E, H, D nên MD = ME = MA

Tam giác MAD cân tại 9.1

Tương tự: OB = OD = OC  Tam giác OCD cân tại 9.2

4, Ta có: 9.3 (các góc bù nhau)

 9.4 =  9.5 (tam giác AEC vuông tại E)

Mà MEOD là tứ giác nội tiếp nên M, E, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính 9.6)

5, Lại có:  9.7 (gt) 

F thuộc đường tròn đường kính 9.8

6,  Xét và  có: 

(2 góc nội tiếp chắn 2 cung MD = ME)

chung

9.9 (g.g)

Suy ra:

(4)

Mà (đường tròn tâm M, đường kính AH, cmt)

(5)

7, Từ (3), (4), (5) suy ra:

Hay AH² = 2MK(AF + HF) (đpcm).

Cho a, b, c là các số thực dương. Bắt đẳng thức nào sau đây đúng ?