Đề thi chính thức vào 10 môn Toán Sở Hà Nam năm 2023

Cho biểu thức (với ).

a, Rút gọn biểu thức P.

b, Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Đáp án: x = .

Phương trình có tập nghiệm là

Giải hệ phương trình .

Đáp án: Hệ phương trình có nghiệm x = 4.1, y = 4.2 (Nếu đáp án không nguyên thì viết dưới dạng phân số tối giản a/b).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x² và đường thẳng (d) có phương trình y = 2mx - m² - m - 2 (với m là tham số).

a, Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) biết điểm M có hoành độ bằng -3.

Đáp án: M(-3; ).

b, Tìm điều kiện của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi là hai giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P), xác định m để .

Đáp án: m = .

Trong tháng 4 năm 2023, hai hộ gia đình bác An và bác Bình dùng hết
tổng cộng 500 nghìn đồng tiền điện. Sang tháng 5 năm 2023, do tăng cường thực hiện việc sử dụng điện an toàn, tiết kiệm và hiệu quả; nhà bác An giảm được 15% tiền điện và nhà bác Bình giảm được 10% tiền điện; kết quả là cả hai hộ gia đình tiết kiệm được tổng cộng 65 nghìn đồng tiền điện so với tháng 4 năm 2023. Hỏi trong tháng 4 năm 2023, mỗi hộ gia đình dùng hết bao nhiêu đồng tiền điện?

Đáp án: Trong tháng 4 năm 2023, nhà bác An dùng hết 7.1 nghìn đồng tiền điện, nhà bác Bình dùng hết 7.2 nghìn đồng tiền điện.

Cho đường tròn (O; R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua S (không qua tâm O) cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm M và N với M nằm giữa S và N.

a, Chứng minh SAOB là tứ giác nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Tứ giác SAOB có:  8.1

8.2 + 8.3 = 8.4

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện của tứ giác SAOB

SAOB là tứ giác nội tiếp (đpcm).

b, Chứng minh SB² = SM. SN.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Xét và  có: 

(tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

chung

(g.g)

2, Suy ra:

(đpcm)

c, Cho . Gọi E là trung điểm của MN. Tính độ dài đoạn thẳng OE và diện tích tam giác SOM theo R.

d, Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O; R) cắt SA, SB lần lượt tại P, Q. Gọi giao điểm của OQ, OP với AB lần lượt là I và H. Chứng minh ba đường thẳng OM, QH, PI đồng quy.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Vì OA = OM (= R) nên O thuộc trung trực của 11.1

Vì PA = PM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên P thuộc trung trực của 11.2

OP là trung trực của 11.3

Mà H thuộc OP HA = HM

2, Xét và  có: 

HA = HM (cmt), 

HP chung,

PA = PM (cmt)

11.4 (c.c.c)

(2 góc tương ứng)

Mà SA = SB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

cân tại S

Mà 11.5 (hai góc kề bù)   11.6

Mà 2 đỉnh B, M đối nhau nên HBQM là tứ giác nội tiếp (dhnb)

(cùng nhìn cạnh 11.7 dưới hai góc bằng nhau)

Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung 11.8)

. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị bằng nhau nên HQ // AM (dhnb)

3, Ta có: OP là trung trực của AM

(từ vuông góc đến song song)

HQ là đường cao của tam giác OPQ

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được PI là đường cao của tam giác OPQ

Theo giả thiết: là đường cao của tam giác OPQ

Vậy OM, QH, PI là ba đường cao của tam giác OPQ nên chúng đồng quy (đpcm).

2, Suy ra:

(đpcm)

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Đáp án: Giá trị lớn nhất của P là (Nếu đáp án không nguyên thì viết dưới dạng phân số tối giản a/b).