Đề thi chính thức vào 10 môn Toán Sở Thanh Hóa năm 2023

Cho biểu thức   (với ).

a, Rút gọn biểu thức P.

b, Tìm tất cả các giá trị của x để P > 1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b để đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm M(-1; 2).

Đáp án: a = 3.1, b = 3.2.

Giải hệ phương trình .

Đáp án: Hệ phương trình có nghiệm x = 4.1, y = 4.2.

Giải phương trình:  (biết x₁ < x₂).

Đáp án: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ = 5.1, x₂ = 5.2.

Cho phương trình (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm (với ) thỏa mãn hệ thức .

Đáp án: m₁ = 6.1, m₂ = 6.2 (biết m₁ < m₂).

Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (với A,B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm đối xứng với B qua O, đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).

a, Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) (gt) nên   7.1

2, Xét tứ giác MAOB có:  7.2 + 7.3= 7.4 

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác MAOB nội tiếp (đpcm).

b, Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và MO. Chứng minh MN² = ND. NA.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Ta có:   (đối đỉnh), (hai góc nội tiếp cùng nhìn cạnh 8.1)

Mà (hai góc nội tiếp cùng nhìn cạnh 8.2)

2, Xét và  có: 

(cmt)

chung

8.3 (g.g)

(đpcm).

c, Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng MO và AB. Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1, Xét và  có: 

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung 9.1)

chung

9.2 (g.g)

2, Ta có: OA = OB (= R) 

O thuộc trung trực của đoạn thẳng 9.3

MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

M thuộc trung trực của đoạn thẳng 9.4

OM là đường trung trực của đoạn thẳng 9.5

tại H

3, Xét tam giác OAM vuông tại A có đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 

Từ (*) và (**)

4, Xét và  có: 

chung

(cmt)

9.6 (g.g)

(hai góc tương ứng)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 9.7)

Mà

vuông tại D 

tại D

5, Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ADH có: 

Biến đổi ta có:

(1)

6, Xét tam giác AHN vuông tại H, có đường cao HD ta có: 

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

(2)

7,  Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  

Lại có: (từ vuông góc đến song song) 

(định lý Ta - lét) (3)

8, Theo ý b, ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHN đường cao HD ta có:

(4)

Từ (1), (2), (3), (4), suy ra: (đpcm).

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Đáp án: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là .