Bất đẳng thức hình học
5/1/2024 9:05:00 AMCho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O; R).
Chứng minh: 
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Kẻ AH vuông góc với BD tại H.
Ta có:
= BD. AH
= R. AH
Mà AH AO
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi AH = AO hay H trùng với O. Khi đó ABCD là hình vuông.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Cho tam giác ABC, đường phân giác AD (D thuộc BC).
Chứng minh: 
.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Trong góc ADB vẽ tia DE (E thuộc AB) sao cho 
1) Xét 
và 
có:
(do AD là phân giác của góc BAC)
(g-g)
(các cạnh tương ứng)
⇒ AD2 = AE . (1)
2) Do 
là góc ngoài của nên
(do )
Suy ra điểm E nằm giữa A và B
⇒ AE AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra (đpcm)
Cho tam giác ABC, có trung tuyến AM.
Chứng minh: 
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Xét 
có: AM > AB - BM
Xét 
có: AM > AC -
⇒ 2AM > AB - BM + AC - MC
⇒ 2AM > AB + AC - (BM + MC)
⇒ 2AM > AB + AC -
(đpcm)
Chứng minh: 
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
1) Gọi D là điểm đối xứng với A qua M.
⇒ AM = MD = AD (viết đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)
⇒ M là trung điểm
2) Tứ giác ABDC có:
M là trung điểm BC
M là trung điểm của AD
BC giao với AD tại M
Suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
⇒ AB =
3) Xét 
có:
AD < CD + AC
(đpcm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6, AC = 8. M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC. Gọi D và E là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC.
Chứng minh: 
1) Tứ giác AEMD có:
o
Tứ giác AEMD là hình chữ nhật
AD = và ME // AB
2) Đặt AD = x (x > 0) ME = x
∆ABC có ME // AB (M thuộc BC, E thuộc AC), theo định lí Thales ta có:
⇒ CE = x (viết đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)
⇒ AE = 8 - x (viết đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)
3) Ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = .
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Cho tam giác ABC đều. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, tia DM cắt AC tại E.
Chứng minh MD < ME.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
1) Vì 
đều nên 
o
Theo tính chất góc ngoài tam giác ADE ta có:
Xét 
có 
⇒ DM BM
Mà BM = CM ⇒ DM CM (1)
2) Ta có: 
o - 
= o
Xét 
có 
là góc lớn nhất của
⇒ MC ME (2)
3) Từ (1) và (2) suy ra MD < ME (đpcm)
Cho tam giác ABC cân tại A, I là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm K, H sao cho 
.
Chứng minh: IH.KB + HC.IK > HK.BI
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
1) Ta có:
Mà BI =
2) Xét 
và 
có
(do cân tại A)
(c-g-c)
(các cặp cạnh tương ứng)
⇒ HC.IK = BI. (1)
IH. KB = IK. CI
Mà CI = BI ⇒ IH. KB = IK. BI (2)
3) Từ (1) và (2) suy ra
IH.KB + IK.HC = IK.BI + BI.IH
= . (IK + IH) (3)
4) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác IHK có:
IK + IH > HK (4)
5) Từ (3) và (4) suy ra IH.KB + HC.IK > HK.BI (đpcm)
Cho tam giác ABC vuông tại B, đường phân giác AD. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AD tại E.
Chứng minh: CE > AB.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Chứng minh
Ta có: AB // (cùng vuông góc với BC)
(1) (so le trong)
Mặt khác AD là phân giác của góc BAC 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 
cân tại
⇒ CA = (cạnh tương ứng)
vuông tại B nên AC > AB
Mà CA = CE ⇒ CE > AB (đpcm)
Chứng minh: EC + CD + DE > AB + BD + AD.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Chứng minh
Xét 
và 
có:
o
(đối đỉnh)
(g.g)
Mà theo ý trước ta có: EC > AB
1
1
⇒ EC + CD + DE > AB + BD + AD (đpcm)
Cho tam giác ABC vuông tại A với các đường phân giác trong BM và CN. Khi đó:
