Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của đại lượng hình học

5/2/2024 9:05:00 AM

Cho nửa (O; R), đường kính AB, điểm C thuộc nửa đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài toán tìm vị trí điểm C để diện tích tam giác ABC lớn nhất.

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB

Từ O dựng đường vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại D

Vì

là điểm chính giữa của nửa đường tròn

Có

AB không đổi nên lớn nhất khi lớn nhất

Lại có  

Dấu "=" xảy ra khi C trùng

Vậy khi C nằm chính giữa nửa đường tròn thì diện tích tam giác ABC lớn nhất.

Cho đều nội tiếp (O; R), điểm M thuộc đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài toán tìm vị trí điểm M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.

1) Xét M thuộc cung BC

Gọi AD là đường kính của (O; R)

E là điểm thuộc AM sao cho ME = BM

+) Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp

Mà đều

là tâm đường tròn nội tiếp

là tia phân giác của

là điểm chính giữa cung

+) Có ME = BM

cân tại

(cùng chắn cung AB)   (do đều)

đều

và  

+) Ta có (= )

+) Xét và có

AB = (do đều)

BE = BM (cmt)

(cmt)

(c.g.c)

(cạnh tương ứng)

(do MB = ME; MC = EA)

Có

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M trùng D

Hay M là điểm chính giữa cung BC

2) Tương tự với trường hợp M thuộc cung AB, AC ta được M là điểm chính giữa cung AB, AC

Vậy MA + MB + MC lớn nhất khi M nằm chính giữa cung BC, AB, AC.

Cho (O) và (O') cố định cắt nhau tại 2 điểm A, B. Đường thẳng qua A cắt (O) tại M cắt (O') tại N. 

Điền vào ô trống để hoàn thành bài toán xác định vị trí của MN để tam giác MBN có diện tích lớn nhất.

1) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại C và (O') tại D

Do (O) và (O') cố định

 cố định

 cố định

 không đổi

2) Xét  và  có 

(cùng chắn cung của (O))

(cùng chắn cung của (O'))

(g.g)

Có 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M trùng với

Vậy MN trùng với thì diện tích tam giác MBN lớn nhất.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài toán xác định vị trí của MN để MN + BM + BN đạt giá trị lớn nhất.

1) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại C và (O') tại D

Do (O) và (O') cố định

cố định

cố định

(không đổi)

Có

2) Xét  và có 

(cùng chắn cung của (O))

(cùng chắn cung của (O'))

(g.g)

Có

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M trùng với

Vậy MN trùng với thì MN + BM + BN đạt giá trị lớn nhất.

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy các điểm M, N, P, Q thỏa mãn AM = BN = CP = DQ.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài toán tìm vị trí điểm M, N, P, Q để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất.

Đặt AM = x; BM = y ()

⇒ AM = BN = CP = DQ = x 

1) Có ABCD là hình vuông

2) vuông tại

(Pythagore)

3) Tương tự ta có

4) Chu vi tứ giác MNPQ là 

nhỏ nhất khi và chỉ khi  nhỏ nhất

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm  ta có

xy

xy 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x =

Khi đó M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Vậy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA thì chu vi tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép tìm vị trí điểm M để tứ giác ACDB có chu vi nhỏ nhất.

1) Ta có:

AC = (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

BD = (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AC + BD = CM + (1)

⇒ AC + BD =  

2) Chu vi tứ giác ACDB là

Ta có AB không đổi

nhỏ nhất khi và chỉ khi CD nhỏ nhất

Mà

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi CD //

Khi đó ta có

⇒ Cung MA = cung

⇒ M là điểm chính giữa của nửa đường tròn

Vậy M nằm chính giữa nửa đường tròn thì tứ giác ACDB có chu vi nhỏ nhất.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép tìm vị trí điểm M để tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất.

1) Ta có:

AC = (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

BD = (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AC + BD = CM + (1)

⇒ AC + BD =  

2) Tứ giác ACDB có AC // BD;

⇒ Tứ giác ACDB là hình thang vuông

3) Diện tích tứ giác ACDB là

Ta có AB không đổi

nhỏ nhất khi và chỉ khi CD nhỏ nhất

Mà

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi CD //

Khi đó ta có

⇒ Cung MA = cung

⇒ M là điểm chính giữa của nửa đường tròn

Vậy M nằm chính giữa nửa đường tròn thì tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 10, điểm M, N lần lượt di chuyển trên cạnh AB, AC sao cho AM = NC.

Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Đáp án: Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất bằng

Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), BC = . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài toán tìm điều kiện của để AI đạt giá trị lớn nhất.

Kẻ đường kính BE của đường tròn

Gọi D là giao điểm của AI với (O)

1) có

vuông tại

Mà

2) Vì I là tâm đường tròn nội tiếp

 là tia phân giác của

Có là góc nội tiếp chắn cung

là góc ở tâm chắn cung

3) có OB = OD = R

cân tại

Mà  

Suy ra đều

4) có là góc ngoài 

Mà (Do BI là tia phân giác của )

;

(cùng chắn cung )

Suy ra

cân tại

)

5) Có

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi AD là đường kính của (O) 

Khi đó I trùng với O

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

là tam giác đều

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 4cm. Trên tia đối của tia BA lấy điểm H sao cho BH = 1cm, qua H vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. C là trung điểm của OB. Vẽ dây EF bất kì qua C, các tia AE, AF cắt d lần lượt tại M, N. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN.

Đáp án: Diện tích nhỏ nhất của tam giác AMN gần bằng

Chú ý: Đáp án viết dưới dạng số thập phân, làm tròn đến chữ số thứ hai sau dấu phẩy. VD: 1,12