Mô hình hai tiếp tuyến cắt nhau
5/3/2024 9:05:00 AMCho (O; R), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
Chứng minh: Bốn điểm A, C, O, B cùng thuộc một đường tròn.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Gọi I là trung điểm AO.
+) Xét tam giác ACO vuông tại (do CA là tiếp tuyến) có là đường trung tuyến nên:
Khi đó 3 điểm A, C, O cùng thuộc đường tròn tâm (1)
+) Xét tam giác ABO vuông tại (do AB là tiếp tuyến) có là đường trung tuyến nên:
Khi đó 3 điểm A, B, O cùng thuộc đường tròn tâm (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, C, O, B cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)
Giả sử 
. Tính số đo 
.
Đáp án: 
o.
Chứng minh: AO là đường trung trực của CB.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Ta có:
AC = (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ A thuộc đường trung trực của (1)
OC = (= R)
⇒ O thuộc đường trung trực của (2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của CB. (đpcm)
Gọi E là giao điểm của CB và AO.
Chứng minh: OA.OE = R2.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Ta có:
là đường trung trực của CB (ý trước)
Xét ∆ACO và ∆CEO có:
°
chung
(hai cặp cạnh tương ứng)
2
Mà 
nên 
. (đpcm)
Trên cung nhỏ BC của đường tròn lấy điểm K bất kì (khác B và C), kẻ tiếp tuyến tại K cắt AB, AC lần lượt ở P và Q.
Chứng minh: Chu vi tam giác APQ không đổi khi K thay di chuyển trên cung BC.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Ta có:
QC = (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
PB = (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Chu vi tam giác APQ là:
AP + PQ +
= AP + (PK + KQ) +
= AP + PB + QC +
= AB +
Mà A, B, C không đổi nên chu vi tam giác APQ không đổi. (đpcm)
Qua A kẻ đường thẳng cắt (O) tại hai điểm M và N (M nằm giữa A và N). Gọi H là trung điểm của MN.
Chứng minh: 5 điểm A, B, C, O, H cùng thuộc một đường tròn.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
1) Ta có:
⇒ ∆ACO vuông tại và ∆ABO vuông tại
⇒ ∆ACO và ∆ABO cùng nội tiếp đường tròn đường kính
⇒ 4 điểm A, B, , C cùng thuộc một đường tròn.
2) ∆OMN cân tại (OM = ON = R) có:
OH là đường (H là trung điểm của MN)
⇒ OH đồng thời là đường cao
tại
°
Ta có: °;
°
⇒ ∆ACO vuông tại và ∆AHO vuông tại
⇒ ∆ACO và ∆AHO cùng nội tiếp đường tròn đường kính
⇒ A, , O, C cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, B, C, H, O cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)
Chứng minh: 
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
1) Ta có ∆OBM cân tại O (OB = OM = R) nên:
Mà 
(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung )
° -
° 
2) Xét 
và 
có
chung
(g.g)
(hai cặp cạnh tương ứng)
2 (3)
3) Xét ∆ABO và ∆AEB có:
chung
°
(hai cặp cạnh tương ứng)
2 (4)
Từ (3) và (4) suy ra . (đpcm)
Gọi T là giao điểm của CB với AN.
Chứng minh: Tích AT.AH không phụ thuộc vào vị trí của M và N.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Xét 
và 
có:
chung
= °
(g.g)
(cặp cạnh tương ứng)
AH. = AE.
Mà AE. không đổi (do A, E, O cố định)
không đổi
không phụ thuộc vào vị trí của M và N. (đpcm)
Giả sử đường tròn tâm O có bán kính bằng 10 cm. Diện tích tam giác MON lớn nhất bằng bao nhiêu?
Đáp án: Diện tích tam giác MON lớn nhất bằng cm2.
Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA > 2R, vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là tiếp điểm), kẻ dây BD song song với AC. Đường thẳng AD cắt (O; R) tại điểm E (E ≠ D). Gọi I là trung điểm của DE.
a) Chứng minh: 4 điểm O, I, B, A cùng thuộc một đường tròn.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
+) Gọi 
là trung điểm của 
.
Do 
là tiếp tuyến của 
nên 
tại 
vuông tại
Mà 
là đường trung tuyến ( là trung điểm của )
3 điểm 
cùng thuộc đường tròn đường kính (1)
+) Ta có 
(hai bán kính của ) nên 
cân tại
Mà là đường trung tuyến (
là trung điểm của 
)
cũng là đường cao
+) Xét 
vuông tại , có 
là đường trung tuyến
3 điểm O, A, cùng thuộc đường tròn đường kính (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm 
cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)
b) Đường thẳng 
cắt 
lần lượt tại 
và 
. Gọi 
là giao điểm của 
và 
.
Chứng minh: 
và 
.
Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:
Phần 1: Chứng minh .
+) Ta có 
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
điểm thuộc đường trung trực của (3)
Lại có 
(hai bán kính của )
điểm thuộc đường trung trực của (4)
Từ (3) và (4) suy ra là đường trung trực của
tại .
+) Xét 
và 
có:
là góc chung
(g.g)
. (đpcm)
Phần 2: Chứng minh .
+) Do 
(gt) nên 
(hai góc ) (5)
+) Ta có 
(hai bán kính của (O))
cân tại
Lại có 
(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung )
° 
°
(6)
Từ (5) và (6) suy ra 
.
+) Xét 
và 
có:
là góc chung
(g.g). (đpcm)
c) Gọi G là giao điểm của AB và CD. Chứng minh 3 điểm G, K, F thẳng hàng.
Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước giải dưới đây theo trình tự phù hợp:
Gọi P là giao điểm của BD và FK; Q là giao điểm của FG và BD.
Bước 1:
Bước 2:
Bước 3:
Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.
c) Ở câu trước, em đã biết trình tự các bước để chứng minh 3 điểm G, K, F thẳng hàng. Tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây:
Gọi P là giao điểm của BD và FK; Q là giao điểm của BD và FG. Ta chứng minh P ≡ Q.
Bước 1: Chứng minh AF = CF
+) Ta có OE = OC (hai bán kính của (O))
⇒ ∆OCE cân tại
Lại có 
(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung )
⇒ 
= °
+) Xét ∆FCE và ∆FBC có:
là góc chung
⇒ ∆CFE ᔕ ∆ (g.g)
⇒ FC2 = FB. (7)
+) Ta có ∆AFE ᔕ ∆BFA (theo ý b)
⇒ FA2 = .FB (8)
Từ (7) và (8) suy ra FA =
Bước 2: Chứng minh Q là trung điểm của BD
+) Xét ∆GQB và ∆GFA có:
(hai góc đồng vị từ BD // AC)
là góc chung
⇒ ∆GQB ᔕ ∆ (g.g)
+) Xét ∆GQD và ∆GFC có:
(hai góc đồng vị từ BD // AC)
là góc chung
⇒ ∆GQD ᔕ ∆ (g.g)
Từ (9) và (10) suy ra 
Mà AF = (cmt)
⇒ = DQ
⇒ Q là trung điểm của BD (*)
Bước 3: Chứng minh P là trung điểm của BD, từ đó suy ra G, K, F thẳng hàng.
+) Xét ∆PKB và ∆CKF có:
(hai góc đối đỉnh)
(hai góc so le trong từ BD // AC)
⇒ ∆PKB ᔕ ∆ (g.g)
+) Xét ∆PKD và ∆FKA có:
(hai góc đối đỉnh)
(hai góc từ BD // AC)
⇒ ∆PKD ᔕ ∆ (g.g)
Từ (11) và (12) suy ra 
Mà AF = CF (cmt)
⇒ = PD
⇒ P là trung điểm của BD (**)
Từ (*) và (**) suy ra P ≡ Q
Do đó FK ≡ FG hay 3 điểm G, K, F thẳng hàng (đpcm).