Mô hình hai đường tròn cắt nhau

Cho vuông tại A, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Vẽ đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại điểm thứ hai là H. K là điểm đối xứng với B qua A, P là điểm đối xứng với C qua A. BP cắt đường tròn đường kính AB tại F, CK cắt đường tròn đường kính AC tại E.

Chứng minh tứ giác FPCH nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Có FH // PC (ý trước)

Tứ giác FPCH là hình thang (1)

Lại có cân tại 1.1 (do BP = {{@BC|@CB (tính chất hình thoi))

(2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác FPCH là 1.2hình thoihình chữ nhậthình bình hànhhình thang cân

Tứ giác FPCH nội tiếp đường tròn (ĐPCM)

Với BC cố định

Điền vào ô trống để hoàn thành phép tìm điều kiện của để tứ giác BFEC có diện tích lớn nhất.

1) Xét và có

2.1 chung

2.2 = AH (ý trước)

2.3 = BH (ý trước)

2.4 (c.c.c)

2) Chứng minh tương tự BF = BH ta được

EC = 2.5

Đồng thời dễ dàng chứng minh  (c.c.c)

3)

4) Lại có vuông tại 2.6, đường cao 2.7

Khi đó

Mà không đổi

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi BH = 2.8

Khi đó có AH là chiều cao đồng thời là đường trung tuyến

cân tại 2.9

Vậy là tam giác vuông cân thì diện tích tứ giác BFEC lớn nhất.

Chứng minh B, H, C thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

Góc AHB = 3.1° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm 3.2) 

Góc AHC = 3.3° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm 3.4)

⇒ Góc AHB + Góc AHC = 3.5°

⇒ B, 3.6, C thẳng hàng

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

Góc AHB = 4.1° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm 4.2) 

⇒ AH ⊥ HB (1)

Lại có B, 4.3, C thẳng hàng (cmt) (2)

 Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ BC (ĐPCM)

Chứng minh tứ giác BPKC là hình thoi.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Xét tứ giác BPKC có

PC và BK là đường chéo

(vì do vuông tại A)

PC cắt BK tại 5.1 là trung điểm của BK và 5.2

Suy ra tứ giác BPKC là hình thoi (ĐPCM)

Chứng minh F, A, E thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Có 6.1 (góc nội tiếp chắn nửa (N))

6.2  (1)

Tứ giác BPKC là hình thoi (ý trước)

  (2)

Từ (1) và (2) suy ra 6.3 (3)

2) 6.4 (góc nội tiếp chắn nửa (M))

6.5  (4)

Từ (3) và (4) suy ra F, A, E thẳng hàng (ĐPCM)

Chứng minh AF = AE.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

 và có

AP = 7.1 (gt)

(đối đỉnh)

(so le trong do BP // CK)

7.2 (g.c.g)

(hai cạnh tương ứng) (ĐPCM)

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

và  có

(cùng chắn cung 8.1 của (M))

(cùng chắn cung 8.2 của (N))

8.3 (g.g)

(hai góc tương ứng)

8.4

(ĐPCM)

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Vì  9.1 (ý trước)

vuông tại 9.2

+) AF = 9.3 (ý trước),

là trung điểm của 9.4

2) vuông tại 9.5 có trung tuyến HA

cân tại 9.6

  (ĐPCM)

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Gọi Q là giao điểm của FM và EN

cân tại 10.1 (do NA = NE (bán kính (N)))

(1)

cân tại 10.2 (do MA = MF (bán kính (M)))

(2)

Từ (1) và (2) suy ra  

Có 10.3

10.4

10.5

10.6

2) có 

10.7

10.8 10.9

10.10

Hay (ĐPCM)

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có

AF = 11.1 (cmt)

MF = MH (hai bán kính của (M))

Suy ra 11.2 là đường trung trực của FH

Mà B ∈ AM

(ĐPCM)

Với BC cố định

Điền vào ô trống để hoàn thành phép tìm điều kiện của để EF có độ dài lớn nhất.

1) Ta có (ý trước)

(cặp cạnh tương ứng)

FE lớn nhất khi và chỉ khi 12.1 lớn nhất

là đường kính của (M)

Khi đó 12.2

12.3

2) vuông tại H có HA là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

cân tại 12.4

cân tại 12.5 (vì )

Vậy là tam giác vuông cân thì EF lớn nhất.