Mô hình nửa đường tròn

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. 

Chứng minh CD = CA + DB.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

CM = 1.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

DM = 1.2 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra CM + MD = CA + 1.3

CD = CA + DB (ĐPCM)

Chứng minh tam giác COD vuông.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Ta có:

2.1 là tia phân giác của  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

2.2 là tia phân giác của  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

2) Lại có 2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

vuông tại 2.8 (ĐPCM)

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Ta có:

AC = 3.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

BD = 3.2 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AC.BD = CM.3.3 (1)

2) Tam giác COD vuông tại 3.4 (ý trước), đường cao 3.5

⇒ CM.3.6 = OM² (∆OMC ∾ ∆DMO (g.g)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (ĐPCM)

Chứng minh CO // BM.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Ta có:

BD = 4.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

thuộc đường trung trực của 4.2 (1)

OM = OB

thuộc đường trung trực của 4.3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra DO là đường trung trực của 4.4

4.5 (3)

2) Tam giác COD vuông tại 4.6 (ý trước)

4.7  (4) 

3) Từ (3) và (4) suy ra OC // BM (ĐPCM)

Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Tam giác COD vuông tại 5.1 (ý trước)

nội tiếp đường tròn đường kính 5.2 

Gọi I là trung điểm của CD

⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp   (1)

⇒ IC = ID = 5.3

⇒  cân tại 5.4

Mà (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Hai góc trên lại ở vị trí 5.5so le trongđồng vị

⇒ 5.6 // DB

Mà DB ⊥ AB

⇒ 5.7 ⊥ AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp . (đpcm)

Gọi N là giao điểm của AD và BC

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Ta có:

CM = 6.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

DM = 6.2 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra 6.3 / 6.4 (1)

2) Ta có AC // BD (cùng vuông góc với 6.5)

⇒ (hai góc so le trong)

Lại có  (hai góc đối đỉnh)

⇒ ∆CNA ∾ ∆BND (g.g)

6.6 / 6.7 (2)

3) Từ (1) và (2) suy ra

4) Xét có

Mà

Suy ra (ĐPCM)

AM cắt CO tại E, BM cắt OD tại F.

Chứng minh .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Có

CA = 7.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

thuộc đường trung trực của 7.2 (1)

OM = OA

thuộc đường trung trực của 7.3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra CO là đường trung trực của 7.4

là trung điểm của 7.5 

2) Có

BD = 7.6 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

thuộc đường trung trực của 7.7 (3)

OM = OB

thuộc đường trung trực của 7.8 (4)

Từ (3) và (4) suy ra DO là đường trung trực của 7.9

là trung điểm của 7.10

3) có

E là trung điểm của AM

F là trung điểm của BM

7.11 là đường trung bình của

(ĐPCM)

Chứng minh tứ giác EMFO là hình chữ nhật.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Có 8.1 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

2) OC là đường trung trực của 8.2

8.3

 8.4

3) OD là đường trung trực của 8.5

8.6

 8.7

4) Tứ giác EMFO có 

8.8

Suy ra tứ giác EMFO là hình chữ nhật (ĐPCM)

Gọi K là giao điểm của MN và AB.

Chứng minh N là trung điểm của MK.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Tam giác CBD có

MN // 9.1 (ý trước)

(1)

2) Tam giác ABD có

NK // 9.2 

(2)

3) Có ∆CNA ∾ ∆BND (g.g) (cmt)

- 9.3 = - 9.4

9.5 / 9.6 (3)

4) Từ (1), (2) và (3)

Mà N nằm giữa M và K

Suy ra N là trung điểm của MK (ĐPCM)

Chứng minh E, N, F thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) có 

N là trung điểm của 10.1

F là trung điểm của 10.2

10.3 là đường trung bình của

10.4 // KB

10.5 // AB 

Mà EF // AB

Suy ra E, N, F thẳng hàng (ĐPCM)

Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Tứ giác MDBO có 

11.1

11.2

11.3

Mà hai góc này ở vị trí đối diện

Tứ giác MDBO nội tiếp

(cùng nhìn cạnh 11.4 (1)

2) Tứ giác EFBO có

EF // OB

EO // FB

Tứ giác EFBO là hình 11.5bình hànhchữ nhậtthoi

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

3) Tứ giác CEFD có 

Mà là góc trong, là góc ngoài tại đỉnh E đối diện với đỉnh D

Tứ giác CEFD nội tiếp (ĐPCM)

Điền vào ô trống để hoàn thành phép tìm vị trí điểm M trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ACDB nhỏ nhất.

Ta có 12.1 (bán kính) không đổi

Suy ra nhỏ nhất khi 12.2 nhỏ nhất

12.3 là đường vuông góc với Ax 

Mà

Mà  

là điểm chính giữa của nửa đường tròn.

Vậy M là điểm chính giữa của nửa đường tròn thì diện tích tứ giác ACDB nhỏ nhất.