Một số bài toán tổng hợp

Cho đường tròn (O; R) và dây AB sao cho . M, N lần lượt là các điểm thuộc cung lớn AB và cung nhỏ AB (M, N khác A và B).

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

b) Tính số đo các góc  và .

Trả lời: = 2.1°; = 2.2°.

Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Kẻ tia $Ax$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$. Trên tia $Ax$ lấy điểm $C$ sao cho $CA>R$. Kẻ tiếp tuyến $CD$ của $(O)$ ($D$ là tiếp điểm, $D$ khác $A$). Đường thẳng $CB$ cắt $(O)$ tại điểm $M$ ($M$ khác $B$).

a) Chứng minh tứ giác $ACDO$ nội tiếp đường tròn.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có:

Góc OAC = 3.1° (AC là tiếp tuyến của (O) tại 3.2)

Góc ODC = 3.3° (DC là tiếp tuyến của (O) tại 3.4)

+) Gọi S là trung điểm của OC suy ra 3.5 = SC = 3.6OC (1)

+) Xét tam giác OAC vuông tại A có 3.7 là đường trung tuyến

⇒ SA = 3.8OC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

+) Xét tam giác ODC vuông tại D có 3.9 là đường trung tuyến

⇒ SD = 3.10OC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ SO = SA = 3.11 = SD = 3.12OC

Vậy tứ giác ACDO nội tiếp. (đpcm)

b) Chứng minh hai đường thẳng $BD$ và $OC$ song song với nhau.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

+) Ta có:

CA = 4.1 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OA = OD = R

⇒ OC là đường trung trực của 4.2

⇒ OC ⊥ 4.3  (3)

+) Lại có góc ADB = 4.4° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AD ⊥ 4.5  (4)

Từ (3) và (4) suy ra OC // BD. (đpcm)

c) Gọi P là giao điểm của AD và CO. Khi , tính độ dài đoạn thẳng MD theo R.

(Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, chỉ làm tròn sau bước tính cuối cùng).

Trả lời: MD ≈ R.

d) Gọi $I$ là trung điểm của $BM$; $E$, $K$, F, N lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $AD$ và $OI$, $ME$ và $AC$, $CD$ và BE, AE và BC. Chứng minh ba điểm K, N, F thẳng hàng.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó sắp xếp các bước làm dưới đây theo trình tự phù hợp:

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn làm từng bước dưới đây của TAK12 nhé!

d) Chứng minh ba điểm K, N, F thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Bước 1: Chứng minh OI.OE = OM²

+) Xét ∆OMB cân tại 7.1 (OM = OB = R) có:

OI là đường trung tuyến (I là trung điểm của MB)

⇒ OI cũng là đường cao hay OI ⊥ MB ⇒ góc OIM = 7.2°

+) Xét ∆OIC và ∆OPE có:

góc IOP chung

góc OIM = góc OPE = 7.3°

⇒ ∆OIC ∾ ∆7.4 (g.g)

⇒ ⇒ OI.OE = 7.5.OC (5)

+) Xét ∆DOC và ∆POD có:

góc DOP chung

góc 7.6 = góc OPD = 7.7°

⇒ ∆DOC ∾ ∆POD (g.g)

⇒ ⇒ 7.8.OC = OD² = OM² (= R²)  (6)

Từ (5) và (6) ⇒ OI.OE = OM² ⇒

Bước 2: Chứng minh KE và BE là các tiếp tuyến của (O)

+) Xét ∆OIM và ∆OME có:

và góc IOM chung

⇒ ∆OIM ∾ ∆OME (c.g.c)

⇒ góc7.9 = góc OIM = 7.10°

⇒ KE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.

Từ OI.OE = OM² ⇒ OI.OE = OB² (OM = OB = R) ⇒

+) Xét ∆OIB và ∆OBE có:

và góc IOB chung

⇒ ∆OIB ∾ ∆OBE (c.g.c)

⇒ góc7.11 = góc OIB = 7.12°

⇒ BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.

Bước 3: Chứng minh AC = 2AK và BE = 2EF

+) AC và KE là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại 7.13

⇒ KA = 7.14

⇒ ∆KAM cân tại 7.15

⇒ góc KAM = góc 7.16 (7)

+) Góc AMB = 7.17° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ góc AMC = 7.18°

⇒ góc KCM + góc KAM = 90° ; góc CMK + góc KMA = 90° (8)

Từ (7) và (8) ⇒ góc KCM = góc CMK (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

⇒ ∆KCM cân tại K ⇒ 7.19 = KM mà KM = 7.20 (cmt)

⇒ KC = KA = 7.21AC hay AC = 2AK

+) BE và CD là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại 7.22

⇒ FD = 7.23

⇒ ∆FBD cân tại 7.24

⇒ góc FDB = góc 7.25 (9)

+) Góc ADB = 7.26° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ góc BDE = 7.27°

⇒ góc FBD + góc FED = 90° ; góc FDB + góc FDE = 90° (10)

Từ (9) và (10) ⇒ góc FED = góc FDE (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

⇒ ∆DEF cân tại F ⇒ 7.28 = FD mà FD = 7.29 (cmt)

⇒ FE = FB = 7.30BE hay BE = 2EF

Bước 4: Chứng minh góc ANK = góc ENF. Từ đó chứng minh K, N, F thẳng hàng.

Ta có BE ⊥ AB, AC ⊥ AB ⇒ AC // 7.31

+) Xét ∆ANC và ∆ENB có:

góc CAN = góc 7.32 (hai góc so le trong)

góc 7.33 = góc NBE (hai góc so le trong)

⇒ ∆ANC ∾ ∆ENB (g.g)

+) Xét ∆ANK và ∆ENF có:

và góc KAN = góc NEF

⇒ ∆ANK ∾ ∆ENF (c.g.c)

⇒ góc ANK = góc 7.34 (hai góc tương ứng)

Khi đó ta có:

180° = góc ANK + góc KNE = góc 7.35 + góc KNE = góc 7.36

Vậy 3 điểm K, N, F thẳng hàng. (đpcm)

Cho tam giác vuông tại () có là đường cao. Lần lượt vẽ đường tròn đường kính và đường tròn đường kính . Đường tròn cắt tại , đường tròn cắt tại . Đường trung tuyến của tam giác cắt tại .

a) Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Ta có 8.1° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra 8.2 tại và 8.3 tại . 

Suy ra 8.4°.

Tứ giác có  8.5° 

Suy ra là hình chữ nhật. (đpcm)

b) Chứng minh là tiếp tuyến chung của đường tròn và .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Vì tứ giác là hình chữ nhật nên nội tiếp một đường tròn

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 9.1)

+) Ta có nên cân tại 9.2

góc 9.3  (1)

+) Lại có:  9.4 (cmt) và (gt)

Nên 9.5

(hai góc 9.6so le trongtrong cùng phíađồng vị)  (2)

+) Từ (1) và (2)  góc 9.7. Do đó:

9.8° ( vuông tại 9.9)

9.10 tại ()

Vậy là tiếp tuyến của đường tròn   (3)

+) Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có 9.11°

9.12 tại ()

Vậy là tiếp tuyến của đường tròn   (4)

Từ (3) và (4) suy ra là tiếp tuyến chung của đường tròn và . (đpcm)

c) Cho biết , . Tính diện tích tam giác . (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, chỉ làm tròn sau bước tính cuối cùng)

Trả lời: . 

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ đường kính AK của (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành và .

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

+) Ta có: 11.1 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay AB ⊥ 11.2.

Mà AB ⊥ CH, suy ra 11.3 // CH (1)

Chứng minh tương tự, ta có BH // 11.4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là 11.5hình bình hànhhình chữ nhậthình thoi. (đpcm)

+)  Xét và có:

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 11.6)

11.7

11.8 (g.g)

Khi đó:

. (đpcm)

b) Gọi M là trung điểm của BC, T là điểm đối xứng với O qua M. Tính độ dài đoạn thẳng TB và AH² + BC² theo R.

Trả lời: TB = 12.1R; AH² + BC² = 12.2R².

c) Biết . Tính R. (Viết đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án: R = .