Đề số 2 luyện thi vào 10 môn Toán Sở Nghệ An

Khảo sát về số thời gian dùng các thiết bị điện tử (điện thoại, ipad, laptop) trong một ngày của 350 học sinh trong trường. Giáo viên tổng hợp lại và lập được biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột sau:

Hãy xác định tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [2; 3).

Trả lời: Nhóm [2; 3) có tần số ghép nhóm là 1.1 và tần số tương đối ghép nhóm là 1.2%.

Lớp 9A có hai bạn nam hát hay là Khôi và Nguyên; ba bạn nữ hát hay là Phương, Bích và Dung. Cô chủ nhiệm lớp chọn ngẫu nhiên hai bạn trong các bạn này để hát song ca trong lễ bế giảng năm học. Tính xác suất của biến cố C: "Trong hai bạn được chọn có bạn Phương".

Trả lời:  P(C) = . (Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b)

Tính giá trị biểu thức: 

Trả lời: P =

Rút gọn biểu thức

với x ≥ 0; x ≠ 4

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2x. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).

Một ô tô đi trên quãng đường AB dài 400 km. Sau khi đi được 180km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/giờ so với vận tốc lúc đầu trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô, biết thời gian đi hết cả quãng đường AB là 8 giờ.

Trả lời: Vận tốc lúc đầu của ô tô là km/giờ.

Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu họ làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người cần bao nhiêu giờ để xong công việc đó?

Trả lời: Người thứ nhất làm riêng cần 7.1 giờ để hoàn thành công việc, người thứ hai làm riêng cần 7.2 giờ để hoàn thành công việc.

Cho phương trình x² - 3x - 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức .

Trả lời: A =

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ đường kính CE, đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

Chứng minh:

Gọi S là trung điểm của OA

Do AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên 9.1 ⊥ OB; 9.2 ⊥ OC

⇒ ∆OBA vuông tại 9.3 và ∆OCA vuông tại 9.4

Xét ∆OBA vuông tại 9.5, có S là trung điểm của OA

⇒ 3 điểm O, B, 9.6 cùng thuộc đường tròn đường kính OA (1)

Xét ∆OCA vuông tại 9.7, có S là trung điểm của OA

⇒ 3 điểm O, A, 9.8 cùng thuộc đường tròn đường kính OA (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, O, C, 9.9 cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABOC nội tiếp. (đpcm)

b) OA cắt BC tại H. Chứng minh AH ⊥ BC và AB² = AE.AF.

Điền vào ô trống để hoàn thành bài chứng minh dưới đây:

1) Chứng minh AH ⊥ BC.

Xét (O) có:

AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại 10.1

⇒ AB = 10.2 (tính chất)

Mà OB = OC (hai bán kính của (O))

⇒ 10.3 là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC tại 10.4

⇒ AH ⊥ BC. (đpcm)

2) Chứng minh AB² = AE. AF.

Ta có OB = OF (hai bán kính của (O))

⇒ ∆OBF cân tại 10.5

Lại có (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 10.6)

⇒ = 10.7° 

Xét ∆AFB và ∆AEB có:

là góc chung

(cmt)

⇒ ∆AFB ∾ ∆10.8 (g.g)

⇒ AB² = AE.10.9. (đpcm)

c) Gọi I là giao điểm của BF và OA. Chứng minh I là trung điểm của AH.

Em hãy tự làm bài chứng minh trên giấy, sau đó trả lời câu hỏi dưới đây:

Những nội dung nào nằm trong bài chứng minh I là trung điểm của AH?

Trường hợp chưa nghĩ ra cách làm hãy tham khảo hướng dẫn giải từng bước dưới đây của TAK12 nhé.

c)  Ở câu trước, em đã biết trình tự các bước để chứng minh I là trung điểm của AH, tiếp theo hãy hoàn thành bài chứng minh chi tiết dưới đây: 

Bước 1: Chứng minh IA² = IF.IB

Ta có:

(hai góc đối đỉnh)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 12.1)

Lại có tứ giác ABOC nội tiếp (cmt)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung 12.2) hay

Xét ∆IFA và ∆IAB có:

là góc chung

⇒ ∆IFA ∾ ∆12.3 (g.g)

⇒ IA² = IF.12.4 (1)

Bước 2: Chứng minh IH² = IF.IB, từ đó suy ra I là trung điểm của AH

Ta có OA ⊥ BC tại H (cmt) ⇒ BH ⊥ OA

Xét ∆OBA vuông tại B có 12.5 là đường cao

⇒ AB² = 12.6.AO

Mà AB² = AF. AE (chứng minh câu b)

⇒ 12.7.AO = AF. AE

Xét ∆AHF và ∆AOE có:

là góc chung

⇒ ∆AHF ∾ ∆12.8 (c.g.c)

Mà  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung 12.9)

Xét ∆IHF và ∆IBH có:

là góc chung

⇒ ∆IHF ∾ ∆12.10 (g.g)

⇒ IH² = IF.12.11 (2)

Từ (1) và (2) suy ra IH² = IA²

⇒ IH = IA 

⇒ I là trung điểm của AH. (đpcm)

Cho tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ bên để được một cái hộp không nắp.

Nếu người đó cắt ở bốn góc mỗi hình vuông có cạnh bằng 4 cm thì diện tích xung quanh của cái hộp là bao nhiêu?

Trả lời: Diện tích xung quanh của cái hộp là cm²

Để cái hộp có sức chứa nhiều nhất thì người đó phải cắt ở bốn góc tấm nhôm mỗi cạnh hình vuông có độ dài cạnh bằng bao nhiêu cen-ti-mét?

Trả lời: Để cái hộp có sức chứa nhiều nhất, người đó cần cắt ở bốn góc tấm nhôm mỗi cạnh hình vuông có cạnh bằng cm.