Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích của các đa thức.

Một số cách để phân tích đa thức thành nhân tử như sau:

1. Phương pháp đặt nhân tử chung
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
3. Phương pháp nhóm hạng tử
4. Phương pháp thêm bớt hoặc tách một hạng tử

Hãy cùng tìm hiểu chi tiết cách giải cho từng phương pháp nhé:

   1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp đặt nhân tử chung là phân tích làm xuất hiện nhân tử chung giữa các hạng tử khi đó ta có:

Một số mẹo nhỏ khi làm bài:

- Đối với các đa thức có hệ số nguyên:

•  Hệ số của nhân tử chung chính là ƯCLN của nguyên dương các hệ số của các hạng tử.
• Lũy thừa chứa chữ của nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức, với số mũ là số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử.

- Đôi khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu của các hạng tử. 

Ví dụ 1: Phân tích đa thức  thành nhân tử

Hướng dẫn giải:

Ta nhận thấy hai hạng tử có ƯCLN của nguyên dương hai hệ số là 3; lũy thừa chứa chữ chung là x  là 1. Do vậy ta chọn 3x làm nhân tử chung.

Ta có:   

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 

Hướng dẫn giải:

Ta nhận thấy hai hạng tử có ƯCLN của nguyên dương hai hệ số là 2; lũy thừa chứa chữ chung là x với số mũ nhỏ nhất của nó là 2 và y với số mũ nhỏ nhất của nó là 3. Do vậy ta chọn làm nhân tử chung.

Ta có:

b)

Hướng dẫn giải:Tương tự như ý a) ta chọn được làm nhân tử chung.

Ta có:  

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên , thỏa mãn:

Hướng dẫn giải: Ta phân tích đa thức vế trái thành nhân tử để áp dụng tính chất " Tích bằng 0 thì một trong các nhân tử bằng 0".

Ta có:

Suy ra hoặc

Vậy hoặc

    2.  Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Ta sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học để phân tích đa thức thành tích các đa thức.

7 hằng đẳng thức đáng nhớ thường gặp:

Chú ý: Cần vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để phù hợp với các nhân tử.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Hướng dẫn giải: Ta nhận thấy đây là dạng bình phương của một tổng.

Ta có:

Ví dụ 2: Phân tích đa thức   thành nhân tử

Hướng dẫn giải: Sử dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng.

Ví dụ 3: Tìm giá trị của x, thỏa mãn:

Hướng dẫn giải: Chuyển vế ta được hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.

Ta có:

Vậy  .

   3. Phương pháp nhóm hạng tử

Phương pháp nhóm hạng tử là nhóm các hạng tử phù hợp vào cùng nhóm. Sau đó vận dụng linh hoạt phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.

 - Lưu ý: Cần nhóm các hạng tử sao cho xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc hằng đẳng thức.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức   thành nhân tử

Hướng dẫn giải: Ta nhận thấy hạng tử số một và hạng tử số ba có nhân tử chung là 4x; nhân tử số hai và nhân tử số bốn có nhân tử chung là - 3. Nên ta có thể nhóm như sau:

Ví dụ 2: Phân tích đa thức   thành nhân tử.

Hướng dẫn giải: Ta nhận thấy hạng tử số một và hạng tử số ba nhóm thành hằng đẳng thức hiệu hai bình phương; nhân tử số hai và nhân tử số bốn có nhân tử chung là -6xy. Nên ta có thể nhóm như sau:

Ví dụ 3: Tìm giá trị của x, thõa mãn:

Hướng dẫn giải: Ta phân tích đa thức vế trái thành nhân tử để áp dụng tính chất " Tích bằng 0 thì một trong các nhân tử bằng 0". Khi đó ta có: 

hoặc

hoặc

Vậy  hoặc .

   4. Phương pháp thêm, bớt hoặc tách một hạng tử

Phương pháp thêm, bớt hoặc tách một hạng tử là vận dụng thêm, bớt hoặc tách một cách linh hoạt để đưa về dạng có thể áp dụng các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.

 - Lưu ý: Mục đích của việc thêm bớt hoặc tách một hạng tử là để xuất hiện hằng đẳng thức; xuất hiện nhân tử chung với các hạng tử còn lại.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức   thành nhân tử

Hướng dẫn giải: Ta nhận thấy và là số chính phương, nên ta sẽ thêm bớt để xuất hiện hiệu hai bình phương.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức   thành nhân tử

Hướng dẫn giải: Đa thức không có nhân tử chung, nhưng gần giống với vế trái của hằng đẳng thức bình phương của một tổng nên ta tách hệ số tự do để xuất hiện hằng đẳng thức.

Lưu ý: Có hai cách thông dụng nhất để tách một hạng tử thành hai hạng tử khác trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử:

• Cách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung với các hạng tử còn lại.
• Cách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới.

Vậy thì nên chọn phương pháp nào cho các bài Toán phân tích đa thức thành nhân tử?

Để có thể chọn cũng như phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý các bước sau:

• Bước 1: Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức.
• Bước 2: Xem xét đa thức có dạng hằng đẳng thức nào không?
• Bước 3: Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm sao cho xuất hiện nhân tử chung giữa các nhóm, hoặc xuất hiện hằng đẳng thức.
• Bước 4: Nếu không thể nhóm các hạng tử vào các nhóm thì ta có thể thêm, bớt hoặc tách một hạng tử nhằm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại.